题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分14分)
已知函数。
(1)证明:
(2)若数列的通项公式为,求数列 的前项和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)设数列满足:,设,
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数,恒成立,
试求的最大值。
(本小题满分14分)已知,点在轴上,点在轴的正半轴,点在直线上,且满足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)当点在轴上移动时,求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)过的直线与轨迹交于、两点,又过、作轨迹的切线、,当,求直线的方程.(本小题满分14分)设函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根,求实数的取值范围。(本小题满分14分)
已知,其中是自然常数,
(1)讨论时, 的单调性、极值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(本小题满分14分)
设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;
(III)设数列的前项和为。已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值。
说明:
1.本解答仅给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则。
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.给分或扣分均以1分为单位,选择题和填空题不给中间分。
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算
DDDBB;CDACA;CA
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算
13.2; 14. 15. 2; 16. ①②③④
三.解答题:(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
解:(I)解:
…………………………………………6分
由 ,得
的单调递增区间为
(II)的图象关于直线对称,
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)当M是A
∵M为A
延长线交于N,则NC1=C
连结NB1并延长与CB延长线交于G,
则BG=CB,NB1=B
在△CGN中,BC1为中位线,BC1//GN.
又GN平面MAB1,
∴BC1//平面MAB1 .………………………6分
(Ⅱ)∵BC1//平面MB
∵△AGC中, BC=BA=BG ,∴∠GAC=90°.
即AC⊥AG, 又AG⊥AA1 , ,
∴AG⊥平面A1ACC1.
∴,……………………………… 8分
∴∠MAC为平面MB
∴所求锐二面角大小为. …………………………………………10分
(Ⅲ)设动点M到平面A1ABB1的距离为,
则.当点M与点C1重合时,三棱锥B―AB
19.(本小题满分12分)
解:设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E。摇奖的概率大小与扇形区域 A,B,C,D,E所对应的圆心角大小成正比。
, 2分
(1)摇奖两次,均获得一等奖的概率; 4分
(2)购物满40元即可获得两次摇奖机会,所得的奖金数为可以为2、3、4、5、6、7、8、9、10。从而有
7分
所以的分布列为:
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8分
10分
(3)由(2)知消费者刚好消费40元两次摇奖机会摇奖所得的平均奖数为4.63元;若选择让利获得的优惠为,显然4.63元 >4元。故选择摇奖比较划算。12分
(文)解:设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E。摇奖的概率大小与扇形区域 A,B,C,D,E所对应的圆心角大小成正比。, 3分
(1)摇奖一次,至多获得三等奖的事件记为F,则; 即摇奖一次,至多获得三等奖的概率为;
5分
(2)摇奖两次,均获得一等奖的概率 8分
(3)购物满40元即可获得两次摇奖机会,由题意知,奖金数的可能值为8、9、10。某消费者购物满40元,摇奖后奖金数不低于8元的事件记为G,则有
答:某消费者购物满40元,摇奖后奖金数不低于8元的概率为。12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设、、,则
,
由此及得
,即;
(Ⅱ)当时,曲线的方程为。
依题意,直线和均不可能与坐标轴平行,故不妨设直线(),直线,从而有
。
同理,有。
若是等腰三角形,则,由此可得
,即或。
下面讨论方程的根的情形():
①若,则,方程没有实根;
②若,则,方程有两个相等的实根;
③若,则,方程有两个相异的正实根,且均不等于(因为
)。
综上所述,能是等腰三角形:当时,这样的三角形有且仅有一个;而当时,这样的三角形有且仅有三个。
21.解:(I)………………2分
当或时,;当时,
在,(1,内单调递增,在内单调递减…………4分
故的极小值为 ……………………………………5分
(II)①若则 的图象与轴只有一个交点。……6分
②若则,当时,,当时,
的极大值为
的极小值为 的图象与轴有三个公共点。
③若,则。
当时,,当时,
的图象与轴只有一个交点
④若,则 的图象与轴只有一个交点
⑤当,由(I)知的极大值为
综上所述,若的图象与轴只有一个公共点;
若,的图象与轴有三个公共点。
22.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)∵第n个集合有n个奇数,∴在前n个集合中共有奇数的个数为
.…………………………………… 2分
则第n个集合中最大的奇数=.………………4分
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)得 ,
从而得.……………………………………6分
(ii)由(i)得 , ∴ .…7分
(1)当时,,显然2≤.……………………………………8分
(2)当≥2 时, ………9分
> ,……………………………………………10分
≤.………………………………………………12分
∴
< .即.
综上所述,2≤ . ……………………………………………………14分
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