（本小题满分12分）

如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，，四边形的面积为．

（Ⅰ）试判断四边形的形状并求其面积；

（Ⅱ）设函数,求

的最大值及对应的的值；

（Ⅲ）设点的坐标为，，在（Ⅱ）的条件下，求．

（本小题满分12分）

如图，在中，，斜边可以通过以直线为轴旋转得到且二面角是直二面角，动点在斜边上

（Ⅰ）当为的中点时，求直线与所成角的大小；（Ⅱ）当与面所成角最大时，求的面积.

（本小题满分12分）如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，  为椭圆的右焦点,且，.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？

若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.