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    设是定义在上的函数.如果存在点.对函数的图像上任意点.关 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设是定义在上的函数，用分点

          

    将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式（）恒成立，则称为上的有界变差函数.

    （1）函数在上是否为有界变差函数？请说明理由；

    （2）设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；

    （3）若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的、 时，.证明：为上的有界变差函数.

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    (本小题满分14分)
    设是定义在上的函数，用分点

    将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式（）恒成立，则称为上的有界变差函数.
    （1）函数在上是否为有界变差函数？请说明理由；
    （2）设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；
    （3）若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的、 时，.证明：为上的有界变差函数.

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    (本小题满分14分)
    设是定义在上的函数，用分点

    将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式（）恒成立，则称为上的有界变差函数.
    （1）函数在上是否为有界变差函数？请说明理由；
    （2）设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；
    （3）若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的、 时，.证明：为上的有界变差函数.

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    如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
    x1+x2
    2
    )＜
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
    （Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
    （Ⅱ）对于（I）中的函数f（x）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0（a，b）使得
    f(b)-f(a)
    b-a
    =f′（x0）”成立．利用这个性质证明x0唯一；
    （Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

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    如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
    （1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由．
    （2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时f（x）=（x+m）2，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
    （3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当-
    1
    2
    ≤x≤
    1
    2
    时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．

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    一、填空题（本大题满分48分，每小题4分，共12小题）

    1．；   2．；   3．；   4．；   5．；

    6．；   7．；   8．；   9．； 10．；

    11．；   12．.

    二、选择题（本大题满分16分，每小题4分，共4小题）

    13．C；   14．A；   15．B；   16．C；

    三、解答题（本大题满分86分，本大题共有6题）

    17．（1）；

           

    （2）；

    18．1号至4号正四棱柱形容器是体积依次为。

    ∵  ，，

    ∴  存在必胜方案，即选择3号和4号容器。

    19．（1）∵  由正弦定理，，∴ ，。

          ∵  ， ∴  ，即。∴  。

     （2）∵  ，

    ∴  。

    20．（1）设放水分钟内水箱中的水量为升

    依题意得；

    分钟时，水箱的水量升, 放水后分钟水箱内水量接近最少；

    （2）该淋浴器一次有个人连续洗浴， 于是，，

    所以，一次可最多连续供7人洗浴。

    21．（1）由及，∴时成等比数列。

    （2）因，由（1）知，，故。

    （3）设存在，使得成等差数列，则，

    即因，所以，

    ∴不存在中的连续三项使得它们可以构成等差数列。

    22．(1)解：设为函数图像的一个对称点，则对于恒成立.即对于恒成立，

    由，故图像的一个对称点为.

    （2）解：假设是函数(的图像的一个对称点，

    则(对于恒成立，

    即对于恒成立，因为，所以不

    恒成立，

    即函数(的图像无对称点.

     


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