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在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．
（ I）确定角B的大小；
（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

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在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．
（ I）确定角B的大小；
（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

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一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B            （2）D            （3）C           （4）B

（5）D            （6）D            （7）A           （8）C

二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

  （9）(1，-1)      （10）｛y| y>1｝， y = 2^x-1 （x>1）    （11），

（12）         （13） 2              （14）R， R

三.解答题（本大题共6小题，共80分）

15. 解（Ⅰ）恰有一名男生的概率为. ……………………………3分

 （Ⅱ）至少有一名男生的概率为.       …………………………8分

  （Ⅲ）至多有一名男生的概率为.      …………………………13分

16. 解：（Ⅰ）.        ……………………………3分

又，cosC=>0，

故在中，、是锐角.  ∴，.

∴.   ……………………7分

（Ⅱ） .          ……………………10分

由正弦定理 .      解得，c=6.

∴.     ∴，即AC=5 .    ……………………13分

17. 解：（I）依条件得 ，      …………………2分

解得.                       …………………………………………4分

所以a_n=3+(n-1)=n+2.                 …………………………………………6分

  （II）P_n=， b₆=2×2^6-1=64，

   由>64得n²+5n-128>0.                    ………………………………9分

所以n(n+5)>128.因为n是正整数，且n=9时，n(n+5)=126，

所以当n≥10时，n(n+5)>128.  即n≥10时，P_n> b₆.  ……………………………13分

18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，

∴∠CAD是异面直线AD与A₁C₁所成的角.         …………………………………2分

连结CD，易知AD=CD=a，AC= a， 在△ACD中易求出cos∠CAD=.

因此异面直线AD与A₁C₁所成的角的余弦值为.       …………………………4分

（Ⅱ）解：设AC中点为G，连结GB，GD，

∵△ABC是等边三角形， ∴GB⊥AC.

又DB⊥面ABC， ∴GD⊥AC.

∴∠DGB是所求二面角的平面角.      …………………6分

依条件可求出GB=a.

∴tan∠DGB==.

∴∠DGB=arctan.                   ……………………………………………8分

（Ⅲ）证明：

∵D是B₁B的中点，∴△C₁B₁D≌△ABD. ∴AD= C₁D. 于是△ADC₁是等腰三角形.

∵E是AC₁的中点， ∴DE⊥AC₁.    ………………………………………………10分

∵G是AC的中点，∴EG∥C₁C∥DB，EG=C₁C= DB.

∴四边形EGBD是平行四边形.  ∴ED∥GB.

∵G是AC的中点，且AB=BC，∴GB⊥AC. ∴ED⊥AC.

∵AC∩AC₁=A，

∴ED⊥平面ACC₁A₁.                  …………………………………………13分

（或证ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁.）

19. 解：（Ⅰ）∵，

∴.                 ……………………………………3分

令得，=0.

，

∴方程有两个不同的实根、.

令，由可知：

当时，；

当；

当；

∴是极大值点，是极小值点.             ……………………………………7分

（Ⅱ），

所以得不等式.

即. ………10分

又由（Ⅰ）知，

代入前面的不等式，两边除以（1+a），

并化简得，解之得：，或（舍去）.

所以当时，不等式成立.          …………………………14分

20. 解：(Ⅰ)∵

∴.             ………………………………………………2分

又椭圆C经过点B(0，-1)，解得b²=1.

所以a²=2+1=3. 故椭圆C的方程为.      ……………………………4分

（Ⅱ）设l的方程为:y= kx+m，M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，

.

 则x₁+x₂= -.  ………………6分

 Δ=36 k²m²-12(m²-1)(1+3k²)=12[3k²-m²+1]＞0       ①

设线段MN的中点G(x₀，y₀)，　

  x₀=，

线段MN的垂直平分线的方程为：y -.…………………8分

∵|， ∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点.

∴-1-.     ∴m=.      ②

②代入①，得3k² -(.   ③

∵|的夹角为60°，∴△BMN为等边三角形.

∴点B到直线MN的距离d=.            ……………………………10分

∵,

又∵|MN|=

=

=,

∴.             ……………………………12分

解得k²=，满足③式.  代入②，得m=.

直线l的方程为：y=.               ……………………………14分