椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny-4=0与圆C′：x²+y²=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．

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椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny-4=0与圆C′：x²+y²=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．

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椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny-4=0与圆C′：x²+y²=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．

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一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A            （2）D            （3） B           （4） D

（5）D            （6）A            （7） B           （8） C

二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

   （9） (1，-1)     （10），   （11） 2     （12）R ，R

（13） 2          （14） 

三.解答题（本大题共6小题，共80分）

15. 解：（Ⅰ）.      ………………………………3分

又，cosC=>0，

故在中，、是锐角.  ∴，.

∴.    ……………………7分

（Ⅱ） .           ……………………10分

由正弦定理 .      解得，c=6.

∴.     ∴，即AC=5 .     ……………………13分

16. 解：（I）依条件得 ，     ……………………2分

解得.                       …………………………………………4分

所以a_n=3+(n-1)=n+2.                 …………………………………………6分

  （II）P_n=， b₆=2×2^6-1=64，

     由>64得n²+5n-128>0.                 ………………………………9分

所以n(n+5)>128.

因为n是正整数，且n=9时，n(n+5)=126，且n(n+5)是递增的，

所以当n≥10时，n(n+5)>128.

即n≥10时，P_n> b₆.           …………………………………………………13分

17. 解：（I）甲答对试题数的可能取值为0、1、2、3.

∵，，

，，      …………………………4分

∴ 甲答对试题数的概率分布如下：

0

1

2

3

P

故甲答对试题数的数学期望为

.            …………………………7分

（II）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A、B，则

，

.              …………………………………………9分

、B相互独立，

∵甲、乙两人都未通过测试的概率为

.    ……………………………11分

∴甲、乙两人至少有一个通过测试的概率为

.          ………………………………………13分

18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，

∴∠CAD是异面直线AD与A₁C₁所成的角.             …………………………2分

 连结CD，易知AD=CD=a，AC= a，

在△ACD中易求出cos∠CAD=.

因此异面直线AD与A₁C₁所成的角的余弦值为.      …………………………4分

（Ⅱ）证明：

∵D是B₁B的中点，

∴△C₁B₁D≌△ABD.

∴AD= C₁D.

于是△ADC₁是等腰三角形.

∵E是AC₁的中点，

∴DE⊥AC₁.    ……………………6分

设AC的中点为G，

∴EG∥C₁C∥DB，EG=C₁C= DB.

∴四边形EGBD是平行四边形.

∴ED∥GB.

∵G是AC的中点，且AB=BC，

∴GB⊥AC.

∴ED⊥AC.

∵AC∩AC₁=A，

∴ED⊥平面ACC₁A₁.           …………………………………………………8分

（或证ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁.）

（Ⅲ）解：∵C₁D，CB共面，

故C₁D，CB必相交，设交点为F，连结AF.

∴平面ADC₁与平面ABC所成二面角是C-AF-C₁.      ………………………………10分

∵DB=C₁C ，DB∥C₁C，

∴B是CF的中点.

∴AC=CB=BF= a.

在△ACF中，由余弦定理可求出AF=a.

∴易判断出△ACF是直角三角形，即AC⊥AF.

∵C₁C⊥面ACF ，

∴AC₁⊥AF.

∴∠C₁AC是所求二面角的平面角.           …………………………………………12分

∵tan∠C₁AC==2，

∴平面ADC₁与平面ABC所成二面角的大小是arctan2（或arccos）. …………13分

19. 解：（Ⅰ）∵，

∴.                   ……………………………………3分

令得，=0.

，

∴方程有两个不同的实根、.

令，由可知：

当时，；

当；

当；

∴是极大值点，是极小值点.             ……………………………………7分

（Ⅱ），

所以得不等式.

即.  ………10分

又由（Ⅰ）知，

代入前面的不等式，两边除以（1+a），

并化简得，解之得：，或（舍去）.

所以当时，不等式成立.           …………………………14分

20. 解：(Ⅰ)∵|

∴.           …………………………………………………2分

由， .

由（1）、（2）可知点P到直线x=，

再由椭圆的第二定义可知，点P的轨迹C是椭圆.        …………………………4分

设椭圆C的方程为：， 

由（3）可知b =1，∴a²=b²+c²=1+2=3.

  ∴椭圆C的方程为: .                 …………………………………5分

（Ⅱ）假设存在符合条件的直线l，并设l的方程为:y=kx+m，M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，

     .

   则x₁+x₂= -.  ………………7分

   Δ=36 k²m²-12(m²-1)(1+3k²)=12[3k²-m²+1]＞0     ①

 设线段MN的中点G(x₀，y₀)，　

   x₀=，

线段MN的垂直平分线的方程为：y -.

∵|， ∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点.

∴-1-.     ∴m=.      ②     ………9分

②代入①，得3k² -(.   ③

∵|的夹角为60°，∴△BMN为等边三角形.

∴点B到直线MN的距离d=.                …………………………10分

∵,

又∵|MN|=

=

=,

∴.              …………………………13分

解得k²=，满足③式.  代入②，得m=.

直线l的方程为：y=.      ……………………………………………14分