题目列表(包括答案和解析)
(1)若数列{an+n}是等比数列,求实数λ的值;
(2)在(1)的条件下,求数列{an}的前n项和Sn.
(1)若数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,写出图中第5行第5个数;
(2)若函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且f(1)= n2,求数列{an}的通项公式;
(3)设Tm为第m行所有项的和,在(2)的条件下,用含m的代数式表示Tm.
(1)若数列{an}的倒均数是Vn=,求an;
(2)若等比数列{bn}的公比q=,其倒均数为Vn,是否存在正整数m,使得当n≥m(n∈N*)时,nVn<恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,说明理由.
设同时满足条件:①≤bn+1(n∈N+);②bn≤M(n∈N+,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列.
(1)若数列{an}为等差数列,Sn是其前n项和,a3=4,S3=18,求Sn;
(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列,并说明理由.
命题2:若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列;
命题3:若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列.上述三个命题中,真命题有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
D
C
C
A
C
D
B
B
D
二、填空题
13.3 14.-a、b、-c 15.18 16.(1)(2)
三、解答题
17.解:(1)∵夹角为x,∴cosx=6
S=sin∠ABC=sin(π-x)=sinx …………2分
∴ …………4分
x∈[0,π],∴x∈[] …………6分
(2)f(x)==cos4x×1+(-sinx)(sin3x+2sin2x)=cos4x-sin4x-2sinxcosx
=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+) …………9分
∵
∴f(x)∈[-] …………12分
18.解:(1)从平台达到第一阶每步只能上一阶,因此概率P1= …………2分
从平台到达第二阶有二种走法:走两步,或一步到达,
故概率为P2=×+ …………5分
(2)该人走了五步,共上的阶数ξ取值为5,6,7,8,9,10
ξ的分布列为:(6分)
ξ
5
6
7
8
9
10
P
()5
Eξ=5×()5+6× …………12分
19.(1)证:连结A1D、A1B
由已知可得△AA1B和△A1AD为全等的正三角形.
∴A1B=A1D∴A1O⊥BD
又AB=AD,BD=BD
∴△ABD≌△A1BD∴A1O=AO=
又AA1=2∴A1O⊥AO
∴A1O⊥平面ABCD …………4分
(2)过C1作C1H⊥AC交AC的延长线于H,则C1H⊥平面ABCD
连结BH,则∠C1BH为BC1与平面ABCD所成的角.
∵OH=A1C1=2,BO=,∴BH=
∴tan∠C1BH=∠C1BH=arctan …………8分
((2)也可用向量法求解)
(3)连结OO1,易知AA1∥OO1,面AA1O1O⊥面BDD1B1
作A1G⊥OO1,则A1G为AA1与面B1D1DB的距离.
由(1)知A1O=AO=A1O1,A1O⊥A1O1
∴A1G==1 …………12分
((3)也可用向量法或等积法求解)
20.(1)y2=,∵y2>0,x>0,∴x>3又y<0
∴y=- …………4分
(2)x=∴y=f-1(x)= (x<0) …………7分
设(x0,y0)为y=f-1(x)图象上任一点.
=
故- …………12分
21.(1),当n=时,
∴c= …………3分
(2)∵直线x=∴P点在以F为焦点,x=为准线的椭圆上 …………5分
设P(x,y)则点B(0,-1)代入,解得a=
∴曲线方程为 …………7分
(3)设l:y=kx+m(k≠0)与联立,消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
△>0得:m2<3k2+1 …………9分
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点A(x0,y0),由,
由韦达定理代入KBA=-,可得到m=
∴k2-1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1 …………11分
即存在k∈(-1,0)∪(0.1)使l与曲线Q交于两个不同的点M、N
使 …………12分
22.(1)由于数列{an}的倒均数,Vn=
得: …………2分
当n≥2时,所以,又当n=1时,a1=也适合上式.
∴an= …………6分
(2)由于{bn}是公比为q=的等比数列,∴{}为公比为2的等比数列,其倒均数
Vn=,不等式Vn< …………8分
若b1<0,则2n-1>8n,令f(x)=2x-8x-1,则f(x)=2xln2-8,当x≤3时,f(x)<0,当x>4时,f(x)>0,∴f(x)当x≥4时是增函数又f(x)=-9<0,f(6)=15>0,故当n≥6时,f(n)>0,即2n-1>8n恒成立,因此,存在正整数m,使得当n≥m,n∈N*时,Vn<恒成立,且m的最小值为6……12分
若b1>0,则上式即为2n-1<8n,显然当n≤5时成立,而n>5时不成立,故不存在正整数m,使n≥m(n∈N*)时,Vn=成立 …………14分
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