已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱锥E-AB₁F的体积．

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-EB₁-F的大小．

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=

π

2

，且AB=AA₁=2，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求三棱锥E-AB₁F的体积．

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，DEF分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求E到平面AB₁F的距离．

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

B

C

B

D

C

B

C

D

C

二、填空题

13.             14.            15.1<m<2              16.2x+6

三、解答题

17.(1)将正弦定量代入条件得：                         …………2分

即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0

   2sinAcosB+sin(B+C)=0

由B+C=π-A，得2sinAcosB+sinA=0                                                    …………4分

   又sinA>0,∴cosB=-,又0<B<π，∴B=                                   …………6分

(2)由余弦定理有：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac=(a+c)²-ac将b= ,a+c=4代入得ac=3

…………10分

 ∴S△ABC=                                  …………12分

18.(1)由S_n=(a_n+1)²,且a_n>0,得a₁=S₁=(a₁+1)²,解得a₁=1_n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(a_n+1)²-(a_n-1+1)²

(a_n-1)²-(a_n-1+1)²=0,       (a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0

∴a_n-a_n-1-2=0,  即a_n-a_n-1=2,   ∴{a_n}是公差为2的等数列

∴a_n=2n-1                                                                                          …………6分

(2)C_n=

T_n=

∴

∴T_n=1+1            …………12分

19.(1)20个数中有3的倍数6个，除以3余1的7个，余2的7个   …………2分

P₁=                                                          …………6分

(2)20个奇数有10个偶数有10个，其中5个是4的倍数。                 …………8分

∴P₂=1                                                                     …………12分

20.(1)连结A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连BP由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，可证A₁E=EP，

∵D、E分别是A₁B、A₁P的中点，

∴DE∥BP

又BP面ABC，DE面ABC

∴DE∥平面ABC                                                                               …………4分

(2)∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点

∴BC⊥AF

∵BB₁⊥平面ABC，∴B₁F⊥AF

∴∠B₁FB为二面角B₁-AF-B的平面角

在Rt△B₁BF中，∠B₁BF=90°，B₁B=a,BF=∴tan∠B₁FB=∴∠B₁FB=arctan                                                    …………8分

即二面β₁-AF-B的大小为arctan

(3)∵B₁F²=

∴B₁F²+EF²=B₁E²,∴B₁F⊥FE

由AF⊥BC，有AF⊥平面B₁BCC₁，即AF⊥平面B₁EF

∴V_F-B1AE=V_A-B1EF=                           …………12分

(注：用向量解法可参照给分)

21.证：(1)设f(x)上任意两点，A(x₁,f(x₁)), B(x₂,f(x₂))不妨令x₁>x₂

∵∴f(x₁)-f(x₂)<x₁-x₂

即f(x₁)-x₁<f(x₂-x₂)令g(x)=f(x)-x=-x³+ax²-x+b

∵当x₁>x₂时g(x₁)<g(x₂)

∵g(x)单调递减                                                                           ……………6分

(2)∴g(x)单调递减∴g′(x)≤0恒成立

∴-3x²+2ax-1≤0恒成立

∴△=4a²-12≤0

∴-≤a≤                                                                          ……………12分

22.(1)∵=(x,y+2)  =(x,y-2)

||+||=8,∴=8

由椭圆定义知，M点轨迹是以(0，2)和(0，-2)为焦点的椭圆

∴                                                                                    ……………6分

(2)∵l的斜率一定存在，设l：y=kx+3

 (3k²+4)x²+18kx-21=0                                               ……………8分

设A(x₁，y₁),B(x₂,y₂)

∵ ∴OAPB为平行四边形

又∵

即OAPB为矩形  ∴   ∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0

∴-(1+k²)?

∴k²=∴k=±经检验k=±合题意.

∴存在直线l：y=±x+3                                                                …………14分