题目列表(包括答案和解析)
设函数.
(I)求的单调区间;
(II)当0<a<2时,求函数在区间
上的最小值.
【解析】第一问定义域为真数大于零,得到.
.
令,则
,所以
或
,得到结论。
第二问中, (
).
.
因为0<a<2,所以,
.令
可得
.
对参数讨论的得到最值。
所以函数在
上为减函数,在
上为增函数.
(I)定义域为. ………………………1分
.
令,则
,所以
或
. ……………………3分
因为定义域为,所以
.
令,则
,所以
.
因为定义域为,所以
. ………………………5分
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间为.
………………………7分
(II) (
).
.
因为0<a<2,所以,
.令
可得
.…………9分
所以函数在
上为减函数,在
上为增函数.
①当,即
时,
在区间上,
在
上为减函数,在
上为增函数.
所以. ………………………10分
②当,即
时,
在区间
上为减函数.
所以.
综上所述,当时,
;
当时,
已知,函数
(1)当时,求函数
在点(1,
)的切线方程;
(2)求函数在[-1,1]的极值;
(3)若在上至少存在一个实数x0,使
>g(xo)成立,求正实数
的取值范围。
【解析】本试题中导数在研究函数中的运用。(1)中,那么当
时,
又
所以函数
在点(1,
)的切线方程为
;(2)中令
有
对a分类讨论,和
得到极值。(3)中,设
,
,依题意,只需
那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 当时,
又
∴ 函数在点(1,
)的切线方程为
--------4分
(Ⅱ)令 有
①
当即
时
|
(-1,0) |
0 |
(0, |
|
( |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
极大值 |
|
极小值 |
|
故的极大值是
,极小值是
②
当即
时,
在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则
的极大值为
,无极小值。
综上所述 时,极大值为
,无极小值
时 极大值是
,极小值是
----------8分
(Ⅲ)设,
对求导,得
∵,
∴ 在区间
上为增函数,则
依题意,只需,即
解得 或
(舍去)
则正实数的取值范围是(
,
)
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