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题目列表(包括答案和解析)

(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB = 90°. AC = BC = a

    D、E分别为棱AB、BC的中点, M为棱AA1­上的点,二面角MDEA为30°.

   (1)求MA的长;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   (2)求点C到平面MDE的距离。

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(本小题满分12分)某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人,这5人站成一排留影。

(1)求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

(2)求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?

(3)求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种 ?

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(本小题满分12分)

某厂有一面旧墙长14米,现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126平方米的厂房,工程条件是①建1米新墙费用为a元;②修1米旧墙的费用为元;③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元,经过讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长;(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?

 

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(本小题满分12分)

已知a,b是正常数, ab, xy(0,+∞).

   (1)求证:,并指出等号成立的条件;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的结论求函数的最小值,并指出取最小值时相应的x 的值.

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(本小题满分12分)

已知a=(1,2), b=(-2,1),xaby=-kab (kR).

   (1)若t=1,且xy,求k的值;

   (2)若tR x?y=5,求证k≥1.

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一、A卷:AADCB  DCCCB  AA

二、(13)160;(14)6π;(15)8;(16)①②③

三、(17)解:(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2=[sin(x+]2=[g(x)]2

   由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1

   ∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1  ……………………………………………3分

   ∵-

   ∴x+=0,或x+=,或x+=

   x=-x=0或x=

   所求x值的集合为{-,0,}      …………………………………………………7分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

   解不等式2kπ+x+≤2kπ+,k∈Z,得

   2kπ+x≤2kπ+     …………………………………………………………9分

   ∵-xx≠-,

   ∴x

   ∴函数的单调递减区间为[]     ………………………………………12分

18.解:所获利润为3000元时,所生产的产品一件为二等品,另一件不能达到一、二等品,所求概率为:P1=2×0.2×0.05=0.02       ………………………………………6分

           所获利润不低于14000元,所生产的产品一件为一等品,一件为二等品,或两件均为一等品,所求概率为:P2=2×0.75×0.2+0.752=0.8625    ……………………12分

19.解法一:(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD,∴ODPD在平面ABCD内的射影

  又ABCD为菱形,∴ACOD,∴ACPD,即PDAC

  在菱形ABCD中,∵∠DAB=60°,

OD=AO?cot60°=1

  在RtPOD中,PD=,由PEED=3:1,得

  DE=又∠PDO=60°,

OE2+DE2=OD2,∴∠OED=90°,即PDOE

 PD⊥平面EAC     …………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PDEA,PDEC,则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=,易知OEAC的垂直平分线,所以∠AEC=2∠AEO

∴cos∠AEC=cos2AEO-sin2AEO

=    ………………………………………8分

(Ⅲ)由OBD中点,知点B到平面PDC的距离等于点O到平面PDC距离的2倍,由(Ⅰ)知,平面OEC⊥平面PDC,作OHCE,垂足为H,则OH⊥平面PDC,在RtOEC中,∠EOC=90°,OC=

  ∴OH=

  所以点B到平面PDC的距离为     ……………………………………………12分

 

 

 

 

 

 

 

解法二:建 立如图所示的坐标系O-xyz,其中A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,).

(Ⅰ)由PEED=3:1,知E(-)

PDOEPDAC,∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PDEAPDEC,则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角

∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分

(Ⅲ)由O为BD中点知,点B到平面PDC的距离为点O到平面PDC距离的2倍

,cos∠OED=cos<

所以点B到平面PDC的距离

d=2………………………………………………12分

20.解:(Ⅰ)依题意,设f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)

  当a>0时,则f(-4)=18,f(-2)=-18,∴

  解得a=1,b= -18…………………………………………………………………………3分

  当a<0时,则f(2)=18,f(-4)=-

  解得a=-1,b=18

  ∴所求解析式为f(x)=x2-4x-14或f(x)=-x2+4x+14……………………………………6分

  (Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax2-4ax+4a+b

  f(x)=2ax-4a

  ∵f=-2,∴2a-4a=-2,∴a=1……………………………………………………………8分

  ∴f(1)=1+b,f(3)=1+bA(1,1+b),B(3,1+b)

   f(3)=6a-4a=2

  l1l2的方程为:y-(1+b)=-2(x-1)

                                y-(1+b)=2(x-3)

  上式联立解得y=b-1

  即C点的纵坐标为b-1

  ∴△ABCAB边上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2

  又|AB|=2

  ∴△ABC的面积S=|AB|?h=2……………………………………………………12分

21.解:(Ⅰ)在(n+1)an-nan+1=2中,令n=1,得2a1-a2=2,∴a2=2a1-2=4再令n=2,得3a2-2a3=2,得a3=a2-1=5

 ∴a2=4,a3=5…………………………………………………………………………………3分

(Ⅱ)由(n+1)an-nan+1=2,得

 ∴

n≥2时,=

  ∴an=n+2

  n=1时,a1=3也适合,∴an=n+2(n∩N*)…………………………………………8分

(Ⅲ)∵an+an+1=(n+2)+(n+3)=2n+5

∴(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)= …………………………12分

22.解:由已知,F(),双曲线的渐近线yx的方向向量为v=(1,±1),当l斜率k存在时,不失一般性,取A(,-1)、B(,1)、B(,1),则v上的投影的绝对值为,不合题意………………………………………………2分

  所以l的斜率k存在,其方程为y=k(x-).

  由得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0(k2≠1)

 设A(x1,k(x1-))、B(x2,k(x2-)),则x1+x2=………………6分

v=(1,1)时,设v的夹角为θ,则=(x2-x1,k(x2-x1))在v上投影的绝对值

=

=.

,得2k2-5k+2=0,k=2或k=.

       所以直线l的方程为y=±2(x-)或y.…………………12分

 


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