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    过双曲线x2-y2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A.B两点.记双曲线渐近线的方向向量为v.当在v方向上的投影的绝对值为时.求直线l的方程. 唐山市2005―2006学年度高三年级第二次模拟考试 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    过双曲线x2-y2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，记双曲线渐近线的方向向量为v，当在v方向上的投影的绝对值为时，求直线l的方程.

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    过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)(c＞0)，作圆：x2＋y2＝的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为

    [　　]

    A．

    B．

    C．

    D．

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    在直角坐标系中，过双曲线x2-
    y29
    =1    的左焦点F作圆x2+y2=1的一条切线（切点为T）交双曲线右支于P，若M为线段FP的中点，则OM-MT=
     
    ．

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    （2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2-y2=1．
    （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|=2
    		2
    ，求点M的坐标；
    （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
    （3）设斜率为k（|k|＜
    		2
    ）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．

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    过点B(0,-a)作双曲线x2-y2=a2右支的割线BCD,又过右焦点F作平行于BD的直线,交双曲线于G、H两点.

    (1)求证:

    (2)设M为弦CD的中点,S△MBF= a2,求割线BD的倾斜角.

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    一、A卷：AADCB  DCCCB  AA

    二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③

    三、(17)解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2=[sin(x+]2=[g(x)]2

       由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1

       ∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1  ……………………………………………3分

       ∵-

       ∴x+=0,或x+=,或x+=

       x=-或x=0或x=

       所求x值的集合为{-,0,}      …………………………………………………7分

       (Ⅱ)由(Ⅰ)知，

       解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得

       2kπ+≤x≤2kπ+     …………………………………………………………9分

       ∵-≤x≤且x≠-,

       ∴≤x≤

       ∴函数的单调递减区间为[，]     ………………………………………12分

    18.解：所获利润为3000元时，所生产的产品一件为二等品，另一件不能达到一、二等品，所求概率为：P1=2×0.2×0.05=0.02       ………………………………………6分

               所获利润不低于14000元，所生产的产品一件为一等品，一件为二等品，或两件均为一等品，所求概率为：P2=2×0.75×0.2+0.752=0.8625    ……………………12分

    19.解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD为PD在平面ABCD内的射影

      又ABCD为菱形，∴AC⊥OD，∴AC⊥PD,即PD⊥AC

      在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，

    ∴OD=AO?cot60°=1

      在Rt△POD中，PD=，由PE：ED=3：1，得

      DE=又∠PDO=60°，

    ∴OE2+DE2=OD2，∴∠OED=90°,即PD⊥OE

     PD⊥平面EAC     …………………………………………………………………………4分

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=，易知OE为AC的垂直平分线，所以∠AEC=2∠AEO，

    ∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO

    =    ………………………………………8分

    (Ⅲ)由O为BD中点，知点B到平面PDC的距离等于点O到平面PDC距离的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足为H，则OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°，OC=

      ∴OH=

      所以点B到平面PDC的距离为     ……………………………………………12分

     

     

     

     

     

     

     

    解法二：建 立如图所示的坐标系O-xyz，其中A(0，-，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，).

    (Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E(-)

    ∵

    ∴

    ∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角

    ∵

    ∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分

    (Ⅲ)由O为BD中点知，点B到平面PDC的距离为点O到平面PDC距离的2倍

    又，cos∠OED=cos<

    所以点B到平面PDC的距离

    d=2………………………………………………12分

    20.解：(Ⅰ)依题意，设f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)

      当a>0时，则f(-4)=18,f(-2)=-18,∴

      解得a=1,b= -18…………………………………………………………………………3分

      当a<0时，则f(2)=18,f(-4)=-

      解得a=-1,b=18

      ∴所求解析式为f(x)=x2-4x-14或f(x)=-x2+4x+14……………………………………6分

      (Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax2-4ax+4a+b

      f′(x)=2ax-4a

      ∵f′=-2,∴2a-4a=-2,∴a=1……………………………………………………………8分

      ∴f(1)=1+b,f(3)=1+b即A(1，1+b),B(3,1+b)

       f′(3)=6a-4a=2

      设l1、l2的方程为：y-(1+b)=-2(x-1)

                                    y-(1+b)=2(x-3)

      上式联立解得y=b-1

      即C点的纵坐标为b-1

      ∴△ABC的AB边上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2

      又|AB|=2

      ∴△ABC的面积S=|AB|?h=2……………………………………………………12分

    21.解：(Ⅰ)在(n+1)an-nan+1=2中，令n=1,得2a1-a2=2,∴a2=2a1-2=4再令n=2,得3a2-2a3=2,得a3=a2-1=5

     ∴a2=4,a3=5…………………………………………………………………………………3分

    (Ⅱ)由(n+1)an-nan+1=2,得

     ∴

    当n≥2时，=

      ∴an=n+2

      n=1时，a1=3也适合，∴an=n+2(n∩N*)…………………………………………8分

    (Ⅲ)∵an+an+1=(n+2)+(n+3)=2n+5

    ∴(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)= …………………………12分

    22.解：由已知，F()，双曲线的渐近线y=±x的方向向量为v=(1,±1),当l斜率k存在时，不失一般性，取A(，-1)、B(，1)、B(，1)，则在v上的投影的绝对值为，不合题意………………………………………………2分

      所以l的斜率k存在，其方程为y=k(x-).

      由得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0(k2≠1)

     设A(x1,k(x1-))、B(x2,k(x2-)),则x1+x2=………………6分

    当v=(1，1)时，设与v的夹角为θ，则=(x2-x1,k(x2-x1))在v上投影的绝对值

    =

    =.

    由，得2k2-5k+2=0,k=2或k=.

           所以直线l的方程为y=±2(x-)或y=±.…………………12分

     


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