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    题目列表(包括答案和解析)

    (本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

        D、E分别为棱AB、BC的中点， M为棱AA1­上的点，二面角M―DE―A为30°.

       （1）求MA的长；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

       （2）求点C到平面MDE的距离。

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    (本小题满分12分)某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影。

    （1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

    （2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?

    （3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种 ?

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    (本小题满分12分)

    某厂有一面旧墙长14米,现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126平方米的厂房,工程条件是①建1米新墙费用为a元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元,经过讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段x米（x＜14）为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?

     

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    (本小题满分12分)

    已知a,b是正常数, a≠b, x，y(0,＋∞).

       (1)求证:≥,并指出等号成立的条件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

       (2)利用(1)的结论求函数的最小值,并指出取最小值时相应的x 的值.

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    (本小题满分12分)

    已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

       (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

       (2)若tR ＋，x?y＝5,求证k≥1.

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    一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    B

    C

    D

    D

    A

    B

    C

    C

    C

    A

    D

    A

    二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

    13.4949；      14.[]            15.②④；             16.x<0或x>2

    三、解答题(本大题共6小题共74分)

    17.解(1)设，由，有x+y=-1                         ①……………1分

      与的夹角为，有，

      ∴，则x2+y2=1                                                             ②……………2分

      由①②解得，∴(-1，0)或(0，-1)       ……………4分

      (2)由2B=A+C知B=                      ……………5分

      由垂直知(0，-1)，则

                                      ……………6分

      ∴

      =1+                   ……………8分

      ∵0<A<

      ∴-1≤cos(2A+)<

      即                                                               ………………10分

      故                                                           ………………12分

    18.解：(1)过点A作AF⊥CB交CB延长线于点F，连结EF，则AF⊥平面BCC1B1，∠AEF为所求直线AE与平面BCC1B1所成的角.                 …………………2分

      在Rt△AEF中，AF=∠AEF=

      故直线AE与平面BCC1B1所成的角为arctan             …………………6分

      (2)以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则

        A (0，-)，E (0，)，D1 (-1，0，2)

                                              …………………8分

       设平面AED1的一个法向量则

       取z=2，得=(3，-1，2)

       ∴点O到平面AED1的距离为d=              …………………12分

    19.解(1)由(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=1，

       ∴a1?a4,a7…,a3n-2是首项为1，公差为1的等差数列，

       ∴Pn=                                                …………………4分

       由

       ∴b2,b5,b8, …b3n-1是以1为首项，公比为-1的等比数列

       ∴Qn=                                 …………………8分

       (2)对于Pn≤100Qn

       当n为偶数时，不等式显然不成立；

       当n为奇数时，，解得n=1，3，…，13.

    所求之和为                                         ………………12分

    20.解∵P(x=6)=                                                   ………………3分

      P(x=7)=                                             ………………6分

      P(x=8)=                                                      ………………9分

      ∴P(x≥6)=                                           ………………12分

      答：线路信息畅通的概率为

    21.解：因为f′(x)=3x2+6ax+b,由题设得

     

      解得：                                                       ………………4分

      ∴当时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,于是f(x)不存在极值；

      当时，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),符合条件。    ………………6分

      且f(1)=20, f(0)=4，于是由题设得：3x2+12x+9≤20m-8在区间[-4，3]上恒成立，又f′(x)=3x2+12x+9=3(x+2)2-3在区间 [-4，3]上的最大值为72.

     ∴,即实数m的取值范围是.

    22.(1)设M (x,y),则由且O是原点得

      A (2，0)，B  (2，1)，C (0，1)，从而(x，y),

     

      由得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|2]

      即(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0为所求轨迹方程                                   ………………4分

      ①当k=1时，y=0动点M的轨迹是一条直线

    ②当k≠1时，(x-1)2+

    k=0时，动点M轨迹是一个圆

    k>1时，动点M轨迹是一条双曲线；

    0<k<1或k<0时轨迹是一个椭圆 .                                     ………………6分

    (2)当k=时，动点M的轨迹方程为(x-1)2+2y2=1即y2=-(x-1)2

    从而

    又由(x-1)2+2y2=1   ∴0≤x≤2

    ∴当x=时，的最大值为.

    当x=0时，的最大值为16.

    ∴的最大值为4，最小值为                     …………………10分

    (3)由由得

    ①当0<k<1时，a2=1,b2=1-k,c2=k

    ∴e2=k ∴

    ②当k<0时，e2=

    ∴k∈                                                      …………………14分

     


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