题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分)
如图:A、B两城相距100 km,某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站D 给A、B两城供气. 已知D地距A城x km,为保证城市安全,天燃气站距两城市的距离均不得少于10km . 已知建设费用y (万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比,当天燃气站D距A城的距离为40km时, 建设费用为1300万元.(供气距离指天燃气站距到城市的距离)
(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x (km)的函数,并求定义域;
(2)天燃气供气站建在距A城多远,才能使建设供气费用最小.,最小费用是多少?
(本小题满分12分)如图:A、B两城相距100 km,某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站D 给A、B两城供气. 已知D地距A城x km,为保证城市安全,天燃气站距两城市的距离均不得少于10km . 已知建设费用y (万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比,当天燃气站D距A城的距离为40km时, 建设费用为1300万元.(供气距离指天燃气站距到城市的距离)
(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x (km)的函数,并求定义域;
(2)天燃气供气站建在距A城多远,才能使建设供气费用最小.,最小费用是多少?
(本小题满分12分)
为了加快经济的发展,某市选择A、B两区作为龙头带动周边地区的发展,决定在A、B两区的周边修建城际快速通道,假设A、B两区相距个单位距离,城际快速通道所在的曲线为E,使快速通道E上的点到两区的距离之和为4个单位距离.
(Ⅰ)以线段AB的中点O为原点建立如图所示的直角坐标系,求城际快速通道所在曲线E的方程;
(Ⅱ)若有一条斜率为的笔直公路l与曲线E交于P,Q两点,同时在曲线E上建一个加油站M(横坐标为负值)满足,求面积的最大值.
一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
D
A
B
C
C
C
A
D
A
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.4949; 14.[] 15.②④; 16.x<0或x>2
三、解答题(本大题共6小题共74分)
17.解(1)设,由,有x+y=-1 ①……………1分
与的夹角为,有,
∴,则x2+y2=1 ②……………2分
由①②解得,∴(-1,0)或(0,-1) ……………4分
(2)由2B=A+C知B= ……………5分
由垂直知(0,-1),则
……………6分
∴
=1+ ……………8分
∵0<A<
∴-1≤cos(2A+)<
即 ………………10分
故 ………………12分
18.解:(1)过点A作AF⊥CB交CB延长线于点F,连结EF,则AF⊥平面BCC1B1,∠AEF为所求直线AE与平面BCC1B1所成的角. …………………2分
在Rt△AEF中,AF=∠AEF=
故直线AE与平面BCC1B1所成的角为arctan …………………6分
(2)以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则
A (0,-),E (0,),D1 (-1,0,2)
…………………8分
设平面AED1的一个法向量则
取z=2,得=(3,-1,2)
∴点O到平面AED1的距离为d= …………………12分
19.解(1)由(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=1,
∴a1?a4,a7…,a3n-2是首项为1,公差为1的等差数列,
∴Pn= …………………4分
由
∴b2,b5,b8, …b3n-1是以1为首项,公比为-1的等比数列
∴Qn= …………………8分
(2)对于Pn≤100Qn
当n为偶数时,不等式显然不成立;
当n为奇数时,,解得n=1,3,…,13.
所求之和为 ………………12分
20.解∵P(x=6)= ………………3分
P(x=7)= ………………6分
P(x=8)= ………………9分
∴P(x≥6)= ………………12分
答:线路信息畅通的概率为
21.解:因为f′(x)=3x2+6ax+b,由题设得
解得: ………………4分
∴当时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,于是f(x)不存在极值;
当时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),符合条件。 ………………6分
且f(1)=20, f(0)=4,于是由题设得:3x2+12x+9≤20m-8在区间[-4,3]上恒成立,又f′(x)=3x2+12x+9=3(x+2)2-3在区间 [-4,3]上的最大值为72.
∴,即实数m的取值范围是.
22.(1)设M (x,y),则由且O是原点得
A (2,0),B (2,1),C (0,1),从而(x,y),
由得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|2]
即(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0为所求轨迹方程 ………………4分
①当k=1时,y=0动点M的轨迹是一条直线
②当k≠1时,(x-1)2+
k=0时,动点M轨迹是一个圆
k>1时,动点M轨迹是一条双曲线;
0<k<1或k<0时轨迹是一个椭圆 . ………………6分
(2)当k=时,动点M的轨迹方程为(x-1)2+2y2=1即y2=-(x-1)2
从而
又由(x-1)2+2y2=1 ∴0≤x≤2
∴当x=时,的最大值为.
当x=0时,的最大值为16.
∴的最大值为4,最小值为 …………………10分
(3)由由得
①当0<k<1时,a2=1,b2=1-k,c2=k
∴e2=k ∴
②当k<0时,e2=
∴k∈ …………………14分
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