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    13．过抛物线y2=4x的顶点的内接正三角形的边长等于 . 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，自A，B向准线作垂线，垂足分别为A1、B1，则焦点F与以线段A1B1为直径的圆C之间的位置关系是（　　）
    A、焦点F在圆C上B、焦点F在圆C内C、焦点F在圆C外D、随直线AB的位置改变而改变

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    过抛物线y2=4x的顶点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B两点,则线段AB的中点P(x,y)的轨迹方程是(    )

    A.y2=-2x-8                                B.y2=2x-8

    C.y2=2x+8                                 D.y2=-2x+8

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    过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA、OB,求抛物线顶点O在AB上的影射M的轨迹方程.?

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    过抛物线y2=4x的顶点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B两点,则线段AB的中点P(x,y)的轨迹方程是(    )

    A.y2=-2x-8                                B.y2=2x-8

    C.y2=2x+8                                 D.y2=-2x+8

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    过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA、OB,求抛物线顶点O在AB上的影射M的轨迹方程.

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    一、选择题：1~12(5×12=60)

    题号

    01

    02

    03

    04

    05

    06

    07

    08

    09

    10

    11

    12

    答案

    B

    A

    B

    C

    D

    B

    D

    C

    B

    C

    C

    D

    二、填空题：13、B；14、-；15、32005；16、(2-2，2)。

    三、解答题：

    17.解：(1)根据已知条件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

                  即：a=2sin2θ                                                                2分

                  又由已知：

                  得                                                                              4分

                  所以有0<sin2θ<1

                  所以a∈(0，2)                                                                            6分

             (2)当a=时由(1)得2sin2θ=                                                     8分

                  所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                     =-2cos2()+1=                               10分

                  所以cos2()=,又

                  所以cos()=-                                                                 12分

    18.解：(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)                                              3分

                  ∵函数f(x)在x=3处取得极值

                  ∴x=3时，f′(x)=0

    ∴a=3                                                                                         5分

              (2)f′(x)=6(x-1)(x-a)

                  i)当a=1时，f′(x)≥0恒成立

                   函数f(x)在(-∞，+∞)上单调增                                                  7分

                  ii)当a<1时，由f′(x)>0得x<1或x>a

                    ∴单调增区间为(-∞，1)，(a,+∞)                                           9分

                  iii)当a>1时，由f′(x)>0得x<1或x>a

                    ∴单调增区间为(-∞，1)，(a,+∞)                                           11分

                    综上：当a=1时，函数f(x)的增区间为(-∞，+∞)

                    当a<1时，函数f(x)的增区间为

                    (-∞，1)，(1，+∞)

                    当a>1时，函数f(x)的增区间为

                    (-∞，1)，(a，+∞)                                                                 12分

    19.(九A解法)解：(1)取AC、CC1中点分别为M、N，连接MN、NB1、MB1，

                  ∵AC1∥MN，NB1∥CE

                  ∴∠MNB1是CE与AC1成角的补角                                            2分

                  Rt△NB1C1中，NB1=

                  Rt△MNC中，MN=6

                  Rt△MBB1中，MB1=

                  ∴cos∠MNB1=-

                  ∴CE与AC1的夹角为arccos                                                4分

             (2)过D作DP∥AC交BC于P，则A1D在面BCC1B1上的射影为C1P，而CE⊥A1D，由三垂线定理的逆定理可得CE⊥C1P，又BCC1B为正方形

                  ∴P为BC中点，D为AB中点，                                                6分

                  ∴CD⊥AB，CD⊥AA1

                  ∴CD⊥面ABB1A1                                                                       8分

             (3)由(2)CD⊥面A1DE

                  ∴过D作DF⊥A1E于F，连接CF

                  由三垂线定理可知CF⊥A1E

                  ∴∠CFD为二面角C-A1E-D的平面角                                         10分

                  又∵A1D=

                  ∴A1D2+DE2=A1E2=324

                  ∴∠A1DE=90°

                  ∴DF=6，又CD=6

                  ∴tan∠CFD=1

                  ∴∠CFD=45°

    ∴二面角C-A1E-D的大小为45°                                                12分

           (此题也可通过建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解)

    20.解：由已知得：

                  不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

                  即：p(x-1)+x2-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

                  令f(p)=p(x-1)+x2-4x+3

                  则有函数f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。                               4分

              (1)显然当x=1时不恒成立

              (2)当x≠1时，有即x>3或x<-1                             10分

                  所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)为所求                                                   12分

    21.解：(1)经观察得第一行有20个数，第二行有21个数，第三行有22个数，第四行有23个数------

                  因此前n行有20+21+22+23+---+2n-1=个数

                  所以，第n行的最后一个数是2n-1                                              4分

              (2)由(1)知，前n-1行菜有2n-1-1个数，因此，第n行的第一个数为2n-1,第n行的最后一个是2n-1,它们构成公差为1的等差数列。

                  因此，由等差数列前n项和公式有：

                                  8分

              (3)因为210=1024

                           211=2048

                           210<2008<211

                   所以2008位于第11行

                  该行第一个数是210=1024，由2008-1024+1=985

                  所以2008是第11和的985个数 。                                              12分

    22.解：(1)由已知可设F(c，0)，Q(x1,y1)

             则

             ∵

             ∴c(x1-c)=1

             ∴x1=                                                                                    2分

           又直线FQ的方程为：y=tanθ(x-c)

           ∴y1=

           而S=

                  =

                  =tanθ                                                                                     4分

           又已知<S<2

           ∴      tanθ<4

           又θ为锐角

           ∴<arctan4                                                                                7分

     

     


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