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    已知函数f(x)=2n ,在x∈[0.+∞]上的最小值是an.(1)求an, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f(x)=
    2n+1
    2
    x+
    2n-1
    2x
    在(0，+∞)    上的最小值是an（n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）证明
    1
    a
    2
    1
    +
    1
    a
    2
    2
    +…+
    1
    a
    2
    n
    ＜
    1
    2
    ；
    （3）在点列An（2n，an）中，是否存在两点Ai，Aj（i，j∈N*）使直线AiAj的斜率为1？若存在，求出所有数对（i，j），若不存在，说明理由．

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    已知函数f(x)=
    2n+1
    2
    x+
    2n-1
    2x
    在(0，+∞)    上的最小值是an（n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）证明
    1
    a21
    +
    1
    a22
    +…+
    1
    a2n
    ＜
    1
    2
    ；
    （3）在点列An（2n，an）中，是否存在两点Ai，Aj（i，j∈N*）使直线AiAj的斜率为1？若存在，求出所有数对（i，j），若不存在，说明理由．

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    已知函数f(x)=
    1+lnx
    x
    ．
    （1）若函数f（x）区间(a，a+
    1
    3
    )(a＞0)    上存在极值点，求实数a的取值范围；
    （2）当x≥1时，不等式f(x)≥
    k
    x+1
    恒成立，求实数k的取值范围；
    （3）求证：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+
    2
    n+1
    （n∈N*，e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

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    已知函数f(x)=
    1+1nx
    x
    ．
    （1）若函数f（x）在区间(a，a+
    1
    3
    )(a＞0)    上存在极值点，求实数a的取值范围；
    （2）知果当x≥1时，不等式f(x)≥
    k
    x+1
    恒成立，求实数k的取值范围；
    （3）求证：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+
    2
    n+1
    ，这里n∈N*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e为自然对数的底数．

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    已知函数f(x)＝

    (Ⅰ)求f(x)的极值；

    (Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)＝1的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围；

    (Ⅲ)设各项为正的数列{an}满足：a1＝1，an+1＝lnan＋an＋2，n∈N*，求证：an≤2n－1．

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    一、选择题：1~12(5×12=60)

    题号

    01

    02

    03

    04

    05

    06

    07

    08

    09

    10

    11

    12

    答案

    B

    B

    A

    B

    C

    D

    B

    C

    B

    C

    C

    D

    二、填空题：13、B；14、-；15、32005；16、(2-2，2)。

    三、解答题：

    17.解：(1)根据已知条件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

                  即：a=2sin2θ                                                                2分

                  又由已知：

                  得                                                                              4分

                  所以有0<sin2θ<1

                  所以a∈(0，2)                                                                            6分

             (2)当a=时由(1)得2sin2θ=                                                     8分

                  所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                     =-2cos2()+1=                               10分

                  所以cos2()=,又

                  所以cos()=-                                                                 12分

    18.(九A解法)解：(1)取AC、CC1中点分别为M、N，连接MN、NB1、MB1，

                  ∵AC1∥MN，NB1∥CE

                  ∴∠MNB1是CE与AC1成角的补角                                            2分

                  Rt△NB1C1中，NB1=

                  Rt△MNC中，MN=6

                  Rt△MBB1中，MB1=

                  ∴cos∠MNB1=-

                  ∴CE与AC1的夹角为arccos                                                4分

             (2)过D作DP∥AC交BC于P，则A1D在面BCC1B1上的射影为C1P，而CE⊥A1D，由三垂线定理的逆定理可得CE⊥C1P，又BCC1B为正方形

                  ∴P为BC中点，D为AB中点，                                                6分

                  ∴CD⊥AB，CD⊥AA1

                  ∴CD⊥面ABB1A1                                                                       8分

             (3)由(2)CD⊥面A1DE

                  ∴过D作DF⊥A1E于F，连接CF

                  由三垂线定理可知CF⊥A1E

                  ∴∠CFD为二面角C-A1E-D的平面角                                         10分

                  又∵A1D=

                  ∴A1D2+DE2=A1E2=324

                  ∴∠A1DE=90°

                  ∴DF=6，又CD=6

                  ∴tan∠CFD=1

                  ∴∠CFD=45°

    ∴二面角C-A1E-D的大小为45°                                                12分

           (此题也可通过建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解)

    19.解：由已知得：

                  不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

                  即：p(x-1)+x2-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

                  令f(p)=p(x-1)+x2-4x+3

                  则有函数f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。                               4分

              (1)显然当x=1时不恒成立

              (2)当x≠1时，有即x>3或x<-1                             10分

                  所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)为所求                                                   12分

    20.解：(1)ξ=0、1、2、3

                         P(ξ=0)=

                         P(ξ=1)=

                         P(ξ=2)=

                         P(ξ=3)=

                         ∴Eξ=1×                                            6分

    (2)设甲考试合格为事件A，乙考试合格为事件B，A、B为相互独立事件

      P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

      P(B)=

      甲、乙两人均不合格为事件

      p()=[1-P(A)][1-P(B)]=

      ∴甲、乙两人至少有一人合各的概率为                                                      12分

    21.解：(1)∵AB方程是y=3x+1，则

           得(1+9a2)x2+6a2x=0

           ∴x A =-,同理BC方程是y=-

           可得xc=                                                                                                 2分

           ∴|AB|=|xA-0|?

           |BC|=|xc-0|?                                                                       4分

           ∵|AB|=|BC|

           ∴=解得a2=

           ∴椭圆方程为                                                                                 6分

           (2)设AB：y=kx+1(不妨设k>0且k≠1)代入

           整理得(1+a2k2)x2+a2kx=0

           ∴xA=-,同理xc=                                                                       8分

           ∴|AB|=，

           |BC|=

           又|AB|=|BC|

           ∴整理得

           (k-1)[k2+(1-a2)k+1]=0   (k≠1)

           ∴k2+(1-a2)k+1=0                                                                                             10分

           ∴△=(1-a2)2-4≥0,解得a≥

           若△=0，则a=,此时k2+[1-()2]k+1=0

           k1=k2=1与k≠1矛盾，故a>.                                                                  12分

    22.解：(1)由已知有f′(x)=2n

           令f′(x)=0

           得x=±                                                                                              2分

           ∵x∈[0,+∞],∴x=

           ∵0<x<时f′(x)<0

           X>时f′(x)>0

           ∴当x=时，fmin(x)=an=2n

           =                                                                                                        5分

           (2)由已知Tn=cos

                                =                                                                7分

                         ∵                                                            9分

                         ∴π>

                         又y=cosx在(0,π)上是减函数

                         ∴Tn是递增的

           ∴Tn<Tn+1(n∈N*)                                                                                            10分

           (3)不存在

             由已知点列An(2n,),显然满足y2=x2-1,(x=2n)                                     12分

                  即An上的点在双曲线x2-y2=1上，且在第一象限内

                  ∴任意三点An、Am、Ap连线的斜率KAnAm，KAnAp，KAmAp均为正值。

                  ∴任意两个量的乘积不可能等于-1

                  ∴三角形AnAmAp三个内角均无直角

                  ∴不可能组成直角三角形。                                                                      14分

     


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