已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于A、D的任意一点，
（1）证明：EF⊥FC₁；
（2）若AB=

2

，是否存在点E满足EF与平面FA₁C₁所成角为arcsin

30

6

，若存在，求点E到平面A₁C₁CA的距离；若不存在，说明理由．

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示，且D是BC的中点，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由。

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，，CN=3AN，点M，P，Q分别是AA₁，A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）求直线AB与平面BMC所成角的正弦值．

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一、选择题  1-5  D D A C B  6-10  C B D A D  11 A 12 D

二、填空题13．丙     14．     15．    16．

三、解答题

17（1）解：∵p与q是共线向量
　　∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A)＝0                                 2分
　　整理得：，∴                                                             4分
　　∵△ABC为锐角三角形，∴A=60°                                                                      6分

 （2）
　　　                                       10分
　　当B＝60°时取函数取最大值2．
　　此时三角形三内角均为60°                                                                               12分

18. 解：（1）由已知，甲队5名队员连续有3人射中，另外2人未射中的概率为

       ……………………6分

（2）两队各射完5个点球后甲胜出，比分为3:1的概率为

…………………………12分

 19．本小题满分12分）

    解：（I）在直三棱柱ABC―中，AA₁⊥面ABC

    ∴AA₁⊥BC

    又∵∠ABC＝90°

    ∴BC⊥面ABB₁A₁

    又面ABB₁A₁

    ∴BC⊥A₁E  3分

    （II）连接AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁的中点

    又∵E为AB的中点    ∴EF∥BC₁  5分

    又EF面A₁CE    ∴BC₁∥面A₁CE  6分

    （III）∵面ACA₁⊥面ABC，作EO⊥AC，则EO⊥面ACA₁，

    作OG⊥A₁C，则∠OGE为二面角A―A₁C―E的平面角  8分

    又∵直线A₁C与面ABC成45°角

    ∴∠A₁CA＝45°

    又，E为AB的中点    ∴

    ∴  11分

    ∴

    ∴二面角A―A₁C―E的正切值为  12分

20．解：，       

  (1)是的极小值点，.           

  (2)令   ……. ①

   当时，

   当时，    ….②

① - ② 得：

21解：        …………………2分

①     当即时，

        （舍）          …………………5分

②     当即时

    又

∴                                              …………………8分

③     当即时

 又

∴                                            ………………11分

综上所述   ………………12

22.解：（Ⅰ）设所求双曲线的方程为

抛物线的焦点F∴，即

又双曲线过点∴，解得

故所求双曲线的方程为

(Ⅱ) 直线．消去方程组中的并整理，得．   ①

设，由已知有，且是方程①的两个实根，

∴，，  ．

  （Ⅲ） 解之，得或．

∵，∴，， 因此，．