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    即当时不等式成立． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知基本不等式：≥(a、b都是正实数，当且仅当a＝b时等号成立)可以推广到n个正实数的情况，即对于n个正实数a1，a2，a3，…，an，有≥(当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时，取等号)．

    同理，当a、b都是正实数时，(a＋b)(＋)≥2ab·2·＝4，可以推导出结论：对于n个正实数a1，a2，a3，…，an有(a1＋a2＋a3)(＋＋)≥________；(a1＋a2＋a3＋a4)(＋＋＋)≥________；(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…)≥________；

    如果对于n个同号实数a1，a2，a3，…，an(同正或者同负)，那么，根据上述结论，(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…)的取值范围是________．

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     已知命题及其证明：

    （1）当时，左边＝1，右边＝所以等式成立；

    （2）假设时等式成立，即成立，

    则当时，，所以时等式也成立。

    由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立。      

    经判断以上评述

    A．命题、推理都正确　　　　　　B命题不正确、推理正确　

    C．命题正确、推理不正确　　　　  D命题、推理都不正确

     

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    已知函数．

    （Ⅰ）求函数的单调区间；

    （Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．

    【解析】第一问利用的定义域是     

    由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

    故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是

    第二问中，若对任意不等式恒成立，问题等价于只需研究最值即可。

    解： （I）的定义域是     ．．．．．．1分

                  ．．．．．．．．．．．．． 2分

    由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

    故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是     ．．．．．．．．4分

    （II）若对任意不等式恒成立，

    问题等价于，                   ．．．．．．．．．5分

    由（I）可知，在上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

    故也是最小值点，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

    当b<1时，；

    当时，；

    当b>2时，；             ．．．．．．．．．．．．8分

    问题等价于 ．．．．．．．．11分

    解得b<1 或 或    即，所以实数b的取值范围是 

     

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    设向量
    α
    =（a，b），
    β
    =（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式|
    α
    •
    β
    |≤|
    α
    |    •|
    β
    |恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（当且仅当
    α
    ∥
    β
    ，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R+，若
    		x
    +3
    		y
    ＜k•
    		x+y
    恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是
     
    ．

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    对于不等式某同学应用数学归纳法证明的过程如下：
    （1）当时，，不等式成立
    （2）假设时，不等式成立，即
    那么时，

    不等式成立根据（1）（2）可知，对于一切正整数不等式都成立。上述证明方法（    ）
    A．过程全部正确B．验证不正确
    C．归纳假设不正确D．从到的推理不正确

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