（2012•广州二模）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），且f(

1

2

)=1，对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，数列{a_n}满足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

(n∈N*)．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）求数列{f（a_n）}的通项公式；
（3）令An=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)，证明：当n≥2时，|

n

i=1

ai-

n

i=1

A1|＜

n-1

2

．

已知数列{α_n}的前n项和为S_n，α₁=l，S_n=（2ⁿ-1）α_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{α_n}是等比数列；
（2）记T_n=n×α₁+（n-1）α₂+（n-2）α₃+…+2×α_n-1+1×α_n（n∈N^*），求L；
（3）证明：当n≥2（n∈N^*）时，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

已知：函数f(x)=-

1

6

x3+

1

2

x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点A(1，

4

3

)中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，1＜an＜

3

2

；
（ⅱ）|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜2．