（Ⅰ）如图1，A，B，C是平面内的三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，试证明：存在实数λ，使得：

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

．
（Ⅱ）如图2，设G为△ABC的重心，PQ过G点且与AB、AC（或其延长线）分别交于P，Q点，若

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

，试探究：

1

m

+

1

n

的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

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（Ⅰ）如图，正方形OABC在二阶矩阵M对应的切变变换作用下变为平行四边形OA′B′C′，平行四边形OA'B'C'在二阶矩阵N对应的旋转变换作用下变为平行四边形OA''B''C''，求将正方形OABC变为平行四边形OA''B''C''的变换对应的矩阵．
（Ⅱ）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为

x=- 2 2 +rcosθ y=- 2 2 +rsinθ

（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

．写出圆心的极标，并求当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3．
（Ⅲ）已知a²+2b²+3c²=6，若存在实数a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，求实数x的取值范围．

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（Ⅰ）阅读理解：
①对于任意正实数a，b，∵(

a

-

b

)2≥0， ∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

只有当a=b时，等号成立．
②结论：在a+b≥2

ab

（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2

p

，
只有当a=b时，a+b有最小值2

p

．
（Ⅱ）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）
①若m＞0，只有当m=

 

时，m+

1

m

有最小值

 

．
②若m＞1，只有当m=

 

时，2m+

8

m-1

有最小值

 

．
（Ⅲ）探索应用：
学校要建一个面积为392m²的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值．

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一、选择题：(共8题,每小题5分,满分40分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

D

C

A

D

B

B

二、填空题：（每题5分，共30分）

9. 8                10. 60             11. 8            12.

13. 10或0(答对一个给3分)        14.          15.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16．（本题满分12分）

解:(Ⅰ) =……1分

=……2分

∵

……4分

……6分

∵……7分

.……8分

(Ⅱ)在中，， ，

……9分

由正弦定理知：……10分

=.

……12分

17. 本题满分12分

 解:(Ⅰ)由 知是方程的两根,注意到得 .……2分

得.

等比数列.的公比为,……4分

(Ⅱ)……5分

……7分

数列是首项为3,公差为1的等差数列. ……8分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列是首项为3,公差为1的等差数列,有

……=……

=……10分

∵

,整理得,解得.……11分

的最大值是7. ……12分

18. 本题满分14分

解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.……4分

(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……6分

X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以……7分

同理可得……8分

……9分

……10分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.……12分

要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以, …… 13分

故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. …… 14分

19.本题满分14分

.解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//, //    

四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG. ……3分

又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO……4分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//

又//AB,//

平面EFG//平面PAB, ……4分

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如图以D为原点,以

为方向向量建立空间直角坐标系.

则有关点及向量的坐标为:

……2分

设平面EFG的法向量为

取.……4分

∵,……5分

又平面EFG.

 AP//平面EFG. ……6分

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD

又

平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量, =……8分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为……9分

……10分

结合图知二面角的平面角为……11分

(Ⅲ) ……14分

20. 本题满分14分

 (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.……1分

设椭圆的标准方程是.……2分

则……4分

.……5分

椭圆的标准方程是……6分

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.……7分

设M,N两点的坐标分别为

联立方程:

消去整理得,

有……9分

若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,……10分

所以,,

即

所以,

即……11分   得……12分

所以直线的方程为,或.……13分

所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. ……14分

21: 本题满分14分

 (Ⅰ)

……2分

 ……4分

(Ⅱ)

(?)0<t<t+2<，t无解；……5分

(?)0<t<<t+2，即0<t<时，；……7分

(?)，即时，，……9分

……10分

(Ⅲ)由题意:

即

可得……11分

设,

则……12分

令,得(舍)

当时,;当时,

当时,取得最大值, =-2……13分

.

的取值范围是.……14分