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    的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．
    (1)求椭圆C的标准方程；
    (2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

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    椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．
    (1)求椭圆C的标准方程；
    (2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

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     椭圆C的中心为原点， 右焦点F（，0）， 以短轴的两端点及F为顶点的三角形恰为等边三角形. 

    （1）求椭圆C的标准方程；

    （2）过椭圆C内的一点P（0，）作直线l交椭圆C于M、 N，求MN中点Q的轨迹方程；

    （3）在（2）条件下，求△OMN的面积最大值. 

     

     

     

     

     

     

     

     

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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率e=
    		2
    2
    ，左、右焦点分别为F1、F2，点P(2，
    		3
    )    ，点F2在线段PF1的中垂线上．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

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    已知椭圆C的焦点为F1(-2
    		2
    ，0)，F2(2
    		2
    ，0)    ，且过点A（3，0）．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设直线y=x+2交椭圆C于M，N两点，求线段MN的中点P坐标．

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    一、选择题：(共8题,每小题5分,满分40分)

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    A

    C

    D

    C

    A

    D

    B

    B

    二、填空题：（每题5分，共30分）

    9. 8                10. 60             11. 8            12.

    13. 10或0(答对一个给3分)        14.          15.

    三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    16．（本题满分12分）

    解:(Ⅰ) =……1分

    =……2分

    ∵

    ……4分

     

    ……6分

    ∵……7分

    .……8分

    (Ⅱ)在中，， ，

    ……9分

    由正弦定理知：……10分

    =.

    ……12分

     

    17. 本题满分12分

     解:(Ⅰ)由 知是方程的两根,注意到得 .……2分

    得.

    等比数列.的公比为,……4分

    (Ⅱ)……5分

    ……7分

    数列是首项为3,公差为1的等差数列. ……8分

    (Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列是首项为3,公差为1的等差数列,有

    ……=……

    =……10分

    ∵

    ,整理得,解得.……11分

    的最大值是7. ……12分

     

    18. 本题满分14分

    解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.……4分

    (Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……6分

    X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以……7分

     

    同理可得……8分

    ……9分

    ……10分

    于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.……12分

    要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以, …… 13分

    故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. …… 14分

     

    19.本题满分14分

    .解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

    ∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//, //    

    四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG. ……3分

    又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO……4分

    平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

    PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

    方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

    ∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//

    又//AB,//

    平面EFG//平面PAB, ……4分

    又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

    方法三)如图以D为原点,以

    为方向向量建立空间直角坐标系.

    则有关点及向量的坐标为:

    ……2分

    设平面EFG的法向量为

    取.……4分

    ∵,……5分

    又平面EFG.

     AP//平面EFG. ……6分

    (Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

    ,又∵面ABCD

    又

    平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量, =……8分

    又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为……9分

    ……10分

    结合图知二面角的平面角为……11分

    (Ⅲ) ……14分

     

    20. 本题满分14分

     (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.……1分

    设椭圆的标准方程是.……2分

    则……4分

    .……5分

    椭圆的标准方程是……6分

    (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.……7分

    设M,N两点的坐标分别为

    联立方程:

    消去整理得,

    有……9分

    若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,……10分

     

    所以,,

    即

    所以,

    即……11分   得……12分

    所以直线的方程为,或.……13分

    所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. ……14分

     

    21: 本题满分14分

     (Ⅰ)

    ……2分

     ……4分

    (Ⅱ)

    (?)0<t<t+2<，t无解；……5分

    (?)0<t<<t+2，即0<t<时，；……7分

    (?)，即时，，……9分

    ……10分

    (Ⅲ)由题意:

    即

    可得……11分

    设,

    则……12分

    令,得(舍)

    当时,;当时,

    当时,取得最大值, =-2……13分

    .

    的取值范围是.……14分

     


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