已知正项数列的前n项和满足：，

（1）求数列的通项和前n项和；

（2）求数列的前n项和；

（3）证明：不等式  对任意的，都成立．

【解析】第一问中，由于所以

两式作差，然后得到

从而得到结论

第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

第三问中，

又

结合放缩法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正项数列，∴           ∴ 

又n=1时，

∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  对任意的，都成立．

（12分）已知正项数列

（1）求证：数列为等差数列，并求数列。

（2）设的取值范围。

已知数列中，，前项和为

   （I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

   （II）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。

    设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已知。

    (Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若数列满足对任意都成立；求证：数列是等比数列。