如图1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，设，将△ABC沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B的大小为，连接A₁B、A₁P（如图2）．
（1）求证：PF∥平面A₁EB；
（2）若EF⊥平面A₁EB，求x的值；
（3）当EF⊥平面A₁EB时，求平面A₁BP与平面A₁EF所成锐二面角的余弦值．

20090109

三：解答题

17．解：（1）由已知

   ∴ 

   ∵  

∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC²=BD²+CD²,                                                  

    又CD²=AC²－AD², 所以BC²=BD²+AC²－AD²=49，                                               

所以                                                                                    

（2）在△ABC中，   

∴            

     而   

如果，

则    

∴                                                                   

18．解：（1）点A不在两条高线和上，

 不妨设AC边上的高：，AB边上的高：

所以AC，AB的方程为：，

，即和

由，

由

由此可得直线BC的方程为：。

（2），

由到角公式得：，

同理可算，。

19．解：（1）令

   则，因，

故函数在上是增函数，

时，，即

   （2）令

    则得

    所以在（，―1）递减，（―1，0）递增，

（0，1）递减，（1，）递增。

故在处取得极小值，且

故存在，使原方程有4个不同实根。

20．解（1）连结FO，F是AD的中点，

  OFAD，

EO平面ABCD

由三垂线定理，得EFAD，

又AD//BC，

EFBC                          

连结FB，可求得FB=PF=，则EFPB，

又PBBC=B，

 EF平面PBC。 

（2）连结BD，PD平面ABCD，过点E作EOBD于O，

连结AO，则EO//PD

且EO平面ABCD，所以AEO为异面直线PD、AE所成的角              

E是PB的中点，则O是BD的中点，且EO=PD=1

在Rt△EOA中，AO=，

   所以：异面直线PD与AE所成的角的大小为

（3）取PC的中点G，连结EG，FG，则EG是FG在平面PBC内的射影

PD平面ABCD，

PDBC，又DCBC，且PDDC=D，

BC平面PDC

BCPC，

EG//BC，则EGPC，

FGPC

所以FGE是二面角F―PC―B的平面角                                   

在Rt△FEG中，EG=BC=1，GF=

，

所以二面角F―PC―B的大小为   

21．解（1）， 

，

   ，令，

所以在递增

，可得实数的取值范围为

（2）当时，

   所以：，

即为 

可化为

由题意：存在，时，

恒成立

作，

只要

由 

而

所以：，

由，知

22．证明：（1）由已知得

（2）由（1）得

=