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函数f(x)的定义域为R，对任意x、yR,都有f(x＋y)＝f(x)f(y),且x>0时，0<f(x)<1.

(1)当x<0时，试比较f(x)与1的大小；

(2)f(x)是否具有单调性，并证明你的结论；

(3)若集合M＝{(x,y)|f(x²)f(y²)>f(1)},N＝{(x,y)|f(ax－y＋2)＝1},MN＝


,求实数a的取值范围.

 

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一、填空题：

1.    2. 三    3.  1    4.  25  5.    6. -1  7.     8. (1,0)

9.    10.  8    11. 1   12. （0，2）  13. 2026    14. ①②③

二、解答题：

15. 解：（1）因为，，所以

_{…………………………4分}

            ……………………………………………………..6分

因此，当，即（）时，取得最大值；…8分

（2）由及得，两边平方得

，即．……………………………………………12分

因此，．……………………………14分

16.解：由已知不等式得

    　　　　①

或　　          　　②

不等式①的解为

不等式②的解为或…………………………………………………4分

因为，对或或时，P是正确的………………………..6分

对函数求导…8分

令，即

当且仅当D>0时，函数f()在(－¥,+¥)上有极值

由得或，

因为，当或时，Q是正确的………………………………………………12分

综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-¥,-1)È……….14分

17.解：（1）因为函数的图象关于原点对称，所以即，

，得或……………………………………….2分

当时，舍去；

当时，，令，解得或.

所以符合条件的m值为-1 …………………………………………………………………4分

（2）由（1）得，任取，

……………………6分

   ∴，

∴………………………………………………………………….8分

∴当时，即，此时为增函数；

当时，即，此时为减函数…10分

（3）由（2）知，当时在上为减函数；同理在上也为减函数

当时，与已知矛盾，舍去；………………12分

当时，因为函数的值域为

∴且，解得，……………………………………14分

18.解：（1）由，令，则，又，所以.

，则.  …………………………………………………………………………………….2分

当时，由，可得. 即..6分

所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. ……8分

（2）数列为等差数列，公差,可得. ….10分

从而. ……………………………………………..12分

∴……….16分

19.解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 ……………………………………….4分

故所求函数及其定义域为 ………………………….6分

(2)依题意知a，v都为正数，故有

当且仅当．即时上式中等号成立………………………...8分

（1）若，即时则当时，全程运输成本y最小.10分

（2）若，即时，则当时，有

.

。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…….14分

综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为千米/时；

当时行驶速度应为v=100千米/时。………………………………………………16分

20．解： (1)  ，当，，单调递减，当，，单调递增．………………………………………………………………..2分

① ，t无解；

② ，即时，；

③ ，即时，在上单调递增，；

所以．…………………………………………………………..6分

(2)  ，则，………………………………………..8分

设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以……………………….10分

因为对一切，恒成立，所以；………………..12分

（3） 问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到………………………………………………………….14分

设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．……………………………..16分