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    (3) 证明: 对一切.都有成立． 2008~2009学年度第一学期高三期中联考 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2006•嘉定区二模）用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项（共n-m+1项）之和．
    （1）在递增数列{an}中，an与an+1是关于x的方程x2-4nx+4n2-1=0（n为正整数）的两个根．求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；
    （2）对（1）中的数列{an}，判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k-2→3k的类型；
    （3）对一般的首项为a1，公差为d的等差数列，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．

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     （08年扬州中学） （16分）

    用表示数列从第项到第项（共项）之和．

    （1）在递增数列中，与是关于的方程（为正整数）的两个根．求的通项公式并证明是等差数列；

    （2）对（1）中的数列，判断数列，，，…，的类型；

    （3）对一般的首项为，公差为的等差数列，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．

     

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    已知函数在处取得极值.

    (1)求实数的值；

    (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；

    (3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.

     

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    已知函数在处取得极值.

    (1)求实数的值；

    (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；

    (3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.

     

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    (本小题满分14分）已知．（1）当时，求上的值域； (2) 求函数在上的最小值；(3) 证明: 对一切，都有成立

     

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    一、填空题：

    1.    2. 三    3.  1    4.  25  5.    6. -1  7.     8. (1,0)

    9.    10.  8    11. 1   12. （0，2）  13. 2026    14. ①②③

    二、解答题：

    15. 解：（1）因为，，所以

    …………………………4分

                ……………………………………………………..6分

    因此，当，即（）时，取得最大值；…8分

    （2）由及得，两边平方得

    ，即．……………………………………………12分

    因此，．……………………………14分

     

    16.解：由已知不等式得

        　　　　①

    或　　          　　②

    不等式①的解为

    不等式②的解为或…………………………………………………4分

    因为，对或或时，P是正确的………………………..6分

    对函数求导…8分

    令，即

    当且仅当D>0时，函数f()在(－¥,+¥)上有极值

    由得或，

    因为，当或时，Q是正确的………………………………………………12分

    综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-¥,-1)È……….14分

     

    17.解：（1）因为函数的图象关于原点对称，所以即，

    ，得或……………………………………….2分

    当时，舍去；

    当时，，令，解得或.

    所以符合条件的m值为-1 …………………………………………………………………4分

    （2）由（1）得，任取，

    ……………………6分

       ∴，

    ∴………………………………………………………………….8分

    ∴当时，即，此时为增函数；

    当时，即，此时为减函数…10分

    （3）由（2）知，当时在上为减函数；同理在上也为减函数

    当时，与已知矛盾，舍去；………………12分

    当时，因为函数的值域为

    ∴且，解得，……………………………………14分

    18.解：（1）由，令，则，又，所以.

    ，则.  …………………………………………………………………………………….2分

    当时，由，可得. 即..6分

    所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. ……8分

    （2）数列为等差数列，公差,可得. ….10分

    从而. ……………………………………………..12分

    ∴……….16分

    19.解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 ……………………………………….4分

    故所求函数及其定义域为 ………………………….6分

    (2)依题意知a，v都为正数，故有

    当且仅当．即时上式中等号成立………………………...8分

    （1）若，即时则当时，全程运输成本y最小.10分

    （2）若，即时，则当时，有

    .

    。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…….14分

    综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为千米/时；

    当时行驶速度应为v=100千米/时。………………………………………………16分

    20．解： (1)  ，当，，单调递减，当，，单调递增．………………………………………………………………..2分

    ① ，t无解；

    ② ，即时，；

    ③ ，即时，在上单调递增，；

    所以．…………………………………………………………..6分

    (2)  ，则，………………………………………..8分

    设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以……………………….10分

    因为对一切，恒成立，所以；………………..12分

    （3） 问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到………………………………………………………….14分

    设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．……………………………..16分

     

     


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