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设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦， MNAB，求证：为定值．

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设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值。

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一、选择题(每小题5分，共50分)

    1．C  2．B  3．D  4．A  5．C  6．B  7．A  8．C  9．B  10．D

二、填空题(每小题4分，共24分)

11．84  12．(3，) 13． 14．±2  15．1:2  16．4

三、解答题(本大题共6小题，共76分)

17．(本题12分)

解：(Ⅰ)∵，

∴          ………………………(2分)

∴    ………………………(3分)

∴              ……………………(4分)

∵在中，

∴                             ………………………(5分)

(Ⅱ)设分别是中的对边，

∵?

∴

∴    ①                                          ……………………(6分)

由正弦定理：，得              ……………………(7分)

∴

∴    ②                                          ……………………(8分)

由①②解得                                    ……………………(9分)

由余弦定理，得                       ………………(10分)

                                                        ………………(11分)

∴，即边的长为。                              ……………………(12分)

18．(本题12分)

解：(Ⅰ)记“甲投篮1次投进”为事件，“乙投篮1次投进”为事件， “丙投篮1次投进”为事件，“3人都没有投进”为事件，

则，，

∴                ………………………(2分)

                            …………………………(4分)

∴3人都没有投进的概率为                           …………………………(5分)

(Ⅱ)的可能取值为，故：

，                           …………………(6分)

，                           …………………(7分)

，                       ………………………(8分)

，                          …………………(9分)

∴的分布列为：

0

1

2

3

∴的数学期望：

，                 ……………(12分)

19．(本题12分)

解：以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．                                      ………………………(1分)

设，由已知得：

，                   ……………(2分)

(Ⅰ)当时，，，  

∴, =, ，                  ……………(3分)

?=，?=，                                    ……………………(4分)

∴。                         …………………………………(5分)

又，

∴平面

∴平面平面。                       …………………………………(6分)

(Ⅱ)∵，

∴，

∴，，

设，平面，

∴?=,?=

                  设则…(8分)

设，平面，

?=,?=，

                       设则,                      ……(9分)

∴，

∵二面角小于，                        …………………………(11分)

∴二面角余弦值为，

∴二面角B-PD-C大小为。                          …………………………(12分)

20．(本题12分)

解：(Ⅰ) ∵

∴                           ………………………………(2分)

∵在区间上为减函数

∴≤O在区间上恒成立                       …………………………(3分)

∵是开口向上的抛物线

        ≤      ≤

∴只需              即                               …………………………(5分)

        ≤       ≤

∴≤≤                             ………………………………………(6分)

(Ⅱ)当时，                     

∴存在，使得

∴在区间内有且只有一个极小值点                      ……………(8分)

当时                      

∴存在，使得

∴在区间内有且只有一个极大值点                     ……………(10分)

当≤≤时，由(Ⅰ)可知在区间上为减函数

∴在区间内没有极值点．

综上可知，当时，在区间内的极值点个数为

当≤≤时，在区间内的极值点个数为          ………(12分)

21．(本题14分)

解：(Ⅰ)∵椭圆中，，                  ……………………………(1分)

∴,                         ……………………………(2分)

∴椭圆的标准方程为。                  ……………………………(3分)

∵在抛物线中，，                           ……………………………(4分)

∴抛物线的标准方程为：。                     ………………………(5分)

 (Ⅱ)设直线