本小题满分12分如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。   （I）求证：A₁B⊥B₁C； （II）求二面角A₁—B₁C—B的大小。

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一、选择题:

A卷：CCABD    BDCBB    AA

二、填空题：

(13)        (14)    (15)    (16)

三、解答题：

(17)解：

（Ⅰ）由，得，  ∴

又，即，得……………4分

（Ⅱ）当时，，

得，即，…………………………7分

由知，，

∴，是首项为，公比为的等比数列，

∴  ……………………………………………………10分

(18)解：

由，知，又，由正弦定理，有

，∴，，……3分

∴  ……………6分

         …………9分

∵，，  ∴，

故所求函数为，函数的值域为……………12分

（19）解：

      记顾客购买一件产品，获一等奖为事件，获二等奖为事件，不获奖为事件，则，，

（Ⅰ）该顾客购买2件产品，中奖的概率

  ……………4分

  （Ⅱ）该顾客获得奖金数不小于100元的可能值为100元，120元，200元，依次记这三个事件为、、，则

        ，………6分

        ，………8分

      ，………10分

    所以该顾客获得奖金数不小于100元的概率

……12分

（20）解法一：

      （Ⅰ）取中点，连结、，则，

       又， ∴，四边形是平行四边形，

       ∴，又，，

       ∴ ……………………………………………………4分

      （Ⅱ）连结

        ∵，  ∴，

       又平面平面，∴

      而，  ∴

     作于，则，且，为的中点。

作于，连结，则，

 于是为二面角的平面角。…………………………8分

∵，，∴，

在正方形中，作于，则

，

∴，∴。

故二面角的大小为…………………………12分

解法二：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，使轴，、分别在轴、轴上。

（Ⅰ）由已知，，，，，，，

∴， ，，

∵， ∴，

又，∴   ………………………………………4分

（Ⅱ）设为面的法向量，则，且。

∵，，

∴，取，，，则 ……………8分

又为面的法向量，所以，

因为二面角为锐角，所以其大小为…………………………12分

（21）解：

     （Ⅰ） 

      令，，则………………2分

若，即，则恒有，函数没有极值点。…………4分

若，即，或，则有两个不相等的实根、，且的变化如下：

－

由此，是函数的极大值点，是函数的极小值点。

综上所述，的取值范围是…………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

∴

…………………………10分

令，得（舍去），，

所以，或…………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）记

                          ①

                            ②

②，得

，                 ③

由①、③，得，即……3分

由于，，则上面方程可化为

，即，所以，

将代入①式，整理，并注意，得

由于，所以

因此，直线与双曲线有一个公共点…………………………6分

（注：直线和双曲线联立后，利用判断交点个数也可）

（Ⅱ）双曲线的渐近线方程为，不妨设点在直线上， 点在直线上。

由，得点坐标为，

由，得点坐标为，…………………………9分

因为，

所以为线段的中点。…………………………12分

（注：若只计算、的横坐标或纵坐标判断为线段的中点不扣分）