已知函数f（x）=

x+a

x+1

，g（x）=（1-a）e^x
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，求实数a的值；
（II）当0＜a＜1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（II）当-2+

3

≤k≤0时，求折痕长的最大值；
（Ⅲ）当-2≤k≤-1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|²-1），试求t的最大值．

集合A={x∈R|y=lgx}，B={x∈R|2x²-2（1-a）x+a（1-a）＞0}，D=A∩B．
（I）当a=2时，求集合D（用区间表示）；
（II）当0＜a＜

1

2

时，求集合D（用区间表示）；
（III）在（II）的条件下，求函数f（x）=4x³-3（1+2a）x²+6ax在D内的极值点．