已知函数f（x）=

ax

x+1

（a为非零常数），定义：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f[f_k（x）]，k∈N^*，例如：f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…
（1）当a=2时，求f2(1)，f3(-

1

7

)的值；
（2）若对于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，求a的值；
（3）当a确定后，f_k（x），k∈N^*的值都由x的值确定．当a=2时，试通过对f_k（x）的探究，写出一个使得集合{f_k（x）}为有限集的真命题（不必证明）．

探究函数f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中值y随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）上递减；
函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间上递增．
当x=时，y_最小=．
证明：函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）递减．
思考：（直接回答结果，不需证明）
（1）函数f（x）=x+

4

x

（x＜0）有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，以及取相应最值时x的值．
（2）函数f（x）=ax+

b

x

，（a＜0，b＜0）在区间 和上单调递增．

通过实验知道如果物体的初始温度是θ₁℃，环境温度是θ₀℃，则经过时间t分钟后，物体温度θ将满足：θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt
，其中k为正常数．
已知一杯开水（100℃）在室温为20℃的环境下经过30分钟后温度会降至30℃．
（1）若当前室温为16℃，从冰柜中拿出的温度为-4℃的冰块，经过5分钟之后，能否融化？（即温度达到0℃以上，参考数据：

2

≈1.414）
（2）在室温为-4℃的环境下，12℃的水经过多长时间可以结冰？-20℃的冰能否融化？（即变为0℃，请依据本题的原理解释）
（3）探究：同样多的一杯开水和一杯冷水一同放进冰箱，哪个先结冰？请猜想答案，有条件的在考后抽空做实验并上网查阅相关资料．

老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式

OP

=

OA

+λ(

AB cosC

| AB |

+

AC cosB

| AC |

)，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为

OP

=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）