已知f（x）=，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，求实数a的取值范围；
（3）设，函数F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域为，求实数a，b的值．

已知f（x）=log₂x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|关于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有实根，a∈R}；
（3）设Hn(x)=(

1

2

)gn(x)，函数F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域为[-

1

2

，3]，
求证：a=

1

2

，b=2．

已知f（x）=log₂x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|关于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有实根，a∈R}；
（3）设，函数F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域为，
求证：．