已知函数f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)且当x≤1时，f(x)≥0，当1≤x≤3时，f(x)≤0恒成立.

(1)求b、c之间的关系式.

(2)当c≥3时，是否存在实数m使得g(x)=f(x)-m²x在区间（0，+∞)上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 -x2+ax+3 ，&x≥1

的图象经过原点，且在x=-1处的切线斜率为-5．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求函数在区间[-1，2]上的最大值．