21. (Ⅰ)设为点P的横坐标.证明, (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程, (Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上.是否存在点M. 使△F1MF2的面积S=若存在.求∠F1MF2 的正切值,若不存在.请说明理由. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(本小题满分14分)如图,已知三角形PAQ顶点P(-3,0),点Ay轴上,点Qx轴正半轴上,·=0, =2.(1)当点Ay轴上移动时,求动点M的轨迹E的方程;

(2)设直线l:y=k(x+1)与轨迹E交于BC两点,点D(1,0),若∠BDC为钝角,求k的取值范围.

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(本小题满分14分)

        已知椭圆的离心率为,直线ly=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.

   (1)求椭圆C1的方程;

   (2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;

   (3)设C??2与x轴交于点Q,不同的两点R、S在C2上,且 满足

        求的取值范围.

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(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(ab>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设AB是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。

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(本小题满分14分)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且=-1处取得最小值m-1(m).设函数(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.

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(本小题满分14分)如图,已知矩形ABCD的边AB="2" ,BC=,点E、F分别是边AB、CD的中点,沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起,使得点D和点B重合,记重合后的位置为点P。
(1)求证:平面PCE平面PCF;
(2)设M、N分别为棱PA、EC的中点,求直线MN与平面PAE所成角的正弦;
(3)求二面角A-PE-C的大小。
 

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说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。

三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。

 

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分.

1.B  2.B  3.D  4.D  5.C  6.C  7.C  8.B  9.A  10.A  11.B  12.A

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分16分。

13.-160     14.    15.576     16.

三、解答题

17.本小题主要考查空间中的线面关系,三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识,考

(Ⅰ)证明: 连结CF.

……4分

(Ⅱ)解法一:

为所求二面角的平面角. 设AB=a,则AB=a,则

……………………8分

解法二:设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌

得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.

设AB=a,则   …………8分

(Ⅲ)解法一:设PA=x,球半径为R.

,的边长为.………12分

解法二:延长PO交球面于D,那么PD是球的直径.

连结OA、AD,可知△PAD为直角三角形.  设AB=x,球半径为R.

.……12分

18.本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和

三角函数有关的极值问题等基础知识,考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.

(Ⅰ)解:设S为十字形的面积,则 

………………4分

(Ⅱ)解法一:

其中………8分   当最大.……10分

所以,当最大. S的最大值为…………12分

解法二: 因为 所以

……………………8分

令S′=0,即

可解得  ………………10分

所以,当时,S最大,S的最大值为  …………12分

19.本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识,考查运用数学归纳法解决有关问题的能力,满分12分。

   (Ⅰ)证明:当  因为a1=1,

所以 ………………2分

下面用数学归纳法证明不等式

   (1)当n=1时,b1=,不等式成立,

   (2)假设当n=k时,不等式成立,即

那么     ………………6分

    

所以,当n=k+1时,不等也成立。

根据(1)和(2),可知不等式对任意n∈N*都成立。  …………8分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,

所以 

…………10分 

故对任意………………(12分)

20.(本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建

立与求解等基础知识,考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力,满分12

分.

(Ⅰ)解:…………2分

(Ⅱ)解:随机变量、的分别列是

 

5

2.5

P

0.68

0.32

 

2.5

1.5

P

0.6

0.4

 

 

 

 

 …………6分

作出可行域(如图):

作直线 

l向右上方平移至l1位置时,直线经过可行域上

的点M点与原点距离最大,此时                …………10分

取最大值. 解方程组     

       得即时,z取最大值,z的最大值为25.2 .……………12分

21.本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应

用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.

由P在椭圆上,得

由,所以 ………………………3分

证法二:设点P的坐标为记

证法三:设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

      由椭圆第二定义得,即

       由,所以…………………………3分

(Ⅱ)解法一:设点T的坐标为 

           当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.

当|时,由,得.

又,所以T为线段F2Q的中点.

在△QF1F2中,,所以有

综上所述,点T的轨迹C的方程是…………………………7分

解法二:设点T的坐标为 当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.

       当|时,由,得.

       又,所以T为线段F2Q的中点.

       设点Q的坐标为(),则

       因此                          ①

       由得        ②

       将①代入②,可得

       综上所述,点T的轨迹C的方程是……………………7分

   (Ⅲ)解法一:C上存在点M()使S=的充要条件是

        

       由③得,由④得  所以,当时,存在点M,使S=;

       当时,不存在满足条件的点M.………………………11分

       当时,,

       由,

       ,

       ,得

解法二:C上存在点M()使S=的充要条件是

        

       由④得  上式代入③得

       于是,当时,存在点M,使S=;

       当时,不存在满足条件的点M.………………………11分

       当时,记,

       由知,所以…………14分

22.本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

   (Ⅰ)解:…………………………………………2分

   (Ⅱ)证明:令

        因为递减,所以递增,因此,当;

        当.所以是唯一的极值点,且是极小值点,可知的

最小值为0,因此即…………………………6分

   (Ⅲ)解法一:,是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

        对任意成立的充要条件是

       

       另一方面,由于满足前述题设中关于函数的条件,利用(II)的结果可知,的充要条件是:过点(0,)与曲线相切的直线的斜率大于,该切线的方程为

       于是的充要条件是…………………………10分

       综上,不等式对任意成立的充要条件是

                                                  ①

       显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

(Ⅲ)解法二:是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

       对任意成立的充要条件是

        ………………………………………………………………8分

       令,于是对任意成立的充要条件是

        由

       当时当时,,所以,当时,取最小值.因此成立的充要条件是,即………………10分

       综上,不等式对任意成立的充要条件是

                ①

       显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式  ②

       有解、解不等式②得

       因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

 

 

 


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