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    (Ⅱ)设是数列{}的前项和.证明 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分12分）设数列的前项和为 已知

    （I）设，证明数列是等比数列     

    （II）求数列的通项公式。

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    （本小题满分13分）

        对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数

    列具有“性质”。

        不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同

    时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”。

    （I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；

    （II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；

    （III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，

    数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”。

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    （本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

    设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

    （1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？

    （2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；

    （3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.

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    （本小题12分）设点，点A在y轴上移动，点B在x轴正半轴（包括原点）上移动，点M在AB连线上，且满足，．

    （Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

    （Ⅱ）设轨迹C的焦点为F，准线为l，自M引的垂线，垂足为N，设点使四边形PFMN是菱形，试求实数a；

    （Ⅲ）如果点A的坐标为，，其中＞，相应线段AM的垂直平分线交x轴于．设数列的前n项和为，证明：当n≥2时，为定值．

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    （本小题满分14分）已知递增数列满足：， ，且、、成等比数列。（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足： ，且。①证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；②设，数列前项和为， ，。当时，试比较A与B的大小。

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    一、选择题

    （1）B     （2）C       （3）A      （4）D      （5）D      （6）B

    （7）A     （8）D       （9）B      （10）C     （11）A     （12） B

    二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

    （13）28        （14）         （15）         （16）2

    三、解答题

    （17）本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.

    解：

                          

       当为第二象限角，且时

       ，

    所以=

    （18）本小题主要考查等比数列的概念、前n项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分.

    解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4.

                     a1q=6,

    依题意，得方程组 a1q4=162.

    解此方程组，得a1=2, q=3.

    故数列{an}的通项公式为an=2?3n－1.

    （II）

    （19）本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分.

    解：y′=2x+1.

    直线l1的方程为y=3x－3.

    设直线l2过曲线y=x2+x－2上 的点B（b, b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2

    因为l1⊥l2，则有2b+1=

    所以直线l2的方程为

    （II）解方程组  得

    所以直线l1和l2的交点的坐标为

    l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.

    所以所求三角形的面积

    （20）本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

       解：记“这名同学答对第i个问题”为事件，则

          P（A1）=0.8，P（A2）=0.7，P（A3）=0.6.

    （Ⅰ）这名同学得300分的概率

          P1=P（A1A3）+P（A2A3）

            =P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）

            =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6

            =0.228.

    （Ⅱ）这名同学至少得300分的概率

         P2=P1+P（A1A2A3）

          =0.228+P（A1）P（A2）P（A3）

          =0.228+0.8×0.7×0.6

          =0.564.

    （21）本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析

       解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.

    作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.

    根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

    所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，

    由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，

    所以PO=3，四棱锥P―ABCD的体积

    VP―ABCD=

    （Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得

    P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）

    所以

    因为 所以PA⊥BD.

    解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.能过计算可得EO=3，AE=2，

    得

    所以  Rt△AEO∽Rt△BAD.

            得∠EAO=∠ABD.

            所以∠EAO+∠ADF=90°

       所以  AF⊥BD.

       因为  直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

    （22）本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分.

      解：直线的方程为，即 

    由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离

    ，

    同理得到点（－1，0）到直线的距离

    由   即   

    于是得 

    解不等式，得   由于所以的取值范围是


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