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设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点，记S_n=a₁+a₂+…+a_n。
（1）若C的方程为，n=3，点P₁（3，0）及S₃=255，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为（a＞b＞0），点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P₁，P₂，…P_n存在的充要条件，并说明理由。

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设P₁(x₁，y₁)，P₁(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n³3，nÎN)是二次曲线C上的点，且构成了一个公差d(d¹0)的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．

（1）若C的方程为．点P₁（3，0）及S₃=162，求点P₃的坐标；（只需写出一个）

（2）若C的方程为y²=2px(p¹0)．点P₁(0，0)，对于给定的自然数n，证明：（x₁+p）²，(x₂+p)²，…，（x_n+p）²成等差数列；

（3）若C的方程为．点P₁(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

 

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设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n≥3，n∈N) 是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列，其中O是坐标原点。记S_n=a₁+a₂+…+a_n，
（1）若C的方程为-y²=1，n=3，点P₁(3，0) 及S₃=162，求点P₃的坐标；(只需写出一个)
（2）若C的方程为y²=2px(p≠0)，点P₁(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x₁+p)²，(x₂+p)²，…，(x_n+p)²成等差数列；
（3）若C的方程为(a＞b＞0)，点P₁(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值。

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一、填空题（本大题满分48分,每小题4分）

（1）3      （2）（5,0）      （3）{1,2,5}           （4）2      （5）（－2,0）∪（2,5]   

（6）（5,4）    （7）6       （8）（x－2）²+（y+3）²=5    （9）    （10）a>0且b≤0 

（11）用代数的方法研究图形的几何性质              （12）①、④

二、选择题（本大题满分16分,每小题4分）

（13）B   （14）C   （15）A  （16）B

三、解答题（本大题满分86分）

（17）【解】由题意得 z₁==2+3i,

  于是==,=.

  <,得a²－8a+7<0,1<a<7.

（18）【解】由题意得xy+x²=8,   ∴y==（0<x<4）.

  于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2（）=（+）x+≥4.

  当（+）x=,即x=8－4时等号成立.

  此时, x≈2.343,y=2≈2.828.    故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.

（19）【解】（1）2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1      即A=（－∞,－1）∪[1,+ ∞）

（2） 由（x－a－1）（2a－x）>0, 得（x－a－1）（x－2a）<0.

∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=（2a,a+1）.

∵BA, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a <1,

∴≤a <1或a≤－2, 故当BA时, 实数a的取值范围是 （－∞,－2）∪[,1]   

（20）【解】（1） 解方程   y=x         得    x₁=－4,    x₂=8

                                       y=x²－4           y₁=－2,    y₂=4

   即A（－4,－2）,B（8,4）, 从而AB的中点为M（2,1）.

   由k_AB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=（x－2）.

   令y=－5, 得x=5, ∴Q（5,－5）

  （2） 直线OQ的方程为x+y=0, 设P（x, x²－4）.

   ∵点P到直线OQ的距离d==,

   ,∴S_ΔOPQ==.

  ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

  ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.  ∵函数y=x²+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,

  ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.

（21）【证明】（1） ∵棱台DEF―ABC与棱锥P―ABC的棱长和相等,

   ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.   又∵截面DEF∥底面ABC,

   ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P―ABC是正四面体.

 【解】（2）取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.

   ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

   则∠DMA为二面角D―BC―A的平面角.    由（1）知,P―ABC的各棱长均为1,

   ∴PM=AM=,由D是PA的中点,  得sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

（3）存在满足条件的直平行六面体.  棱台DEF―ABC的棱长和为定值6,体积为V.

  设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α,

  则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.

  ∵正四面体P―ABC的体积是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim（8V）

故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求.

（22）【解】（1） a₁=²=9,由S₃=（a₁+a₃）=162,得a₃=³=99.

由

－y²=1

,得

x=90

x+y=99

y=9

  ∴点P₃的坐标可以为（3,3）.

（2）对每个自然数k,1≤k≤n,由题意²=（k－1）d,及

y=2px_k

,得x+2px_k=（k－1）d

x+y=（k－1）d

即（x_k+p）²=p²+（k－1）d,

   ∴（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²是首项为p²,公差为d的等差数列.

   （3） 【解法一】原点O到二次曲线C:（a>b>0）上各点的最小距离为b,最大距离为a.

    ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+（n－1）d≥b²,

    ∴≤d<0. ∵n≥3,>0

    ∴S_n=na²+d在[,0）上递增,

  故S_n的最小值为na²+?=.

  【解法二】对每个自然数k（2≤k≤n）,

由

x+y=a²+（k－1）d

,解得y=

+=1

     ∵0< y≤b²,得≤d<0     ∴≤d<0    以下与解法一相同.