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给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其他选择相比是最小的，r₁称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r₂；如此继续构成第三组（余差为r₃）、第四组（余差为r₄）、……，直至第N组（余差为r_N）把这些数全部分完为止。
（Ⅰ）判断r₁，r₂，…，r_N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
（Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r_n的大小关系，并证明；
（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11。

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一、 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

（1）D   （2）C    （3）A   （4）A    （5）B    （6）D   （7）C   （8）B

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.

（9）   

（10）

（11）（0，1），

（12）  

（13）大    -3

（14）3    52

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.满分14分.

    解法一：

    又,

    .

    解法二：

             （1）

    ,

     .   （2）

    （1）+（2）得：.

    （1）－（2）得：.

    .

    （以下同解法一）

（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分14分.

    解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形

    其对角线长为.

    （II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C₁的最短路线，其长为

    .

    ，,

    故.

    （III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线

    在中,

    又,

    由三垂线定理得.

    就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）,

    侧面是正方形,

    .

    故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为.

 （17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.满分14分.

    解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为.

    点P（1，2）在抛物线上,

    ，得.

    故所求抛物线的方程是,

    准线方程是.

    （II）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为,

    则，.

    PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,

    .

    由A（），B（）在抛物线上，得

        ,（1）

    ,     （2）

    由（1）－（2）得直线AB的斜率

 （18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分14分.

    解：（I）由，得.

    由及，得.

    同理，.

    归纳得

    （II）当时，,

    ,

    ,

    .

    所以是首项为，公比为的等比数列.

    所以.

（19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.

    解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是

    和

    （II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以

        （*）

    当时，（*）式变形为,

    解得;

    当时，（*）式变形为,

    解得;

    当时，（*）式变形为,

    解得

    综上所述，的取值范围是[39，].

 （20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分12分.

    解：（I）.除第N组外的每组至少含有个数.

    （II）当第n组形成后，因为，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差，余下数之和也大于第n组的余差，即

    ,

    由此可得.

    因为，所以.

    （III）用反证法证明结论，假设，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差，且,

    故余下的每个数 .   （*）

    因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于,

    此时第11组的余差,

    这与（*）式中矛盾，所以.