设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)M(2.

2

)，N(

6

，1)，O为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且

OA

⊥

OE

？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

函数f(x)=

x

1-x

(0＜x＜1)的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：a1=

1

2

，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x）的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

bn

a 2 n

-

λ

an

}；的项中仅

b5

a 2 5

-

λ

a5

最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g(x)=[f-1(x)+f(x)]- 

1-x2

1+x2

，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x1=

1

2

，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．证明：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

．

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

a2n

a2n-1

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：S_n≤n+

5

3

．