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已知椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线为l₁和l₂，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得l⊥l₂于点C，又l与l₁交于点P，l与椭圆E的两个交点从上到下依次为A，B（如图）．
（1）当直线l₁的倾斜角为30°，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（2）设

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，证明：λ₁+λ₂为常数．

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已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点F（1，0）．过点F作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆G于A、B两点，M（2，0）是一个定点．如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、B），记直线CD的斜率为k₁．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一个常数λ，使得k₁=λk恒成立？若存在，求出这个常数λ；若不存在，请说明理由．

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已知椭圆

x2

a2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0），直线l经过点F且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上的一个动点，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点S，使

SA

•

SB

为常数，若存在，求出定点S的坐标；若不存在，请说明理由．

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1

2

3

4

5

6

7

8

2

9

充分不必要

4

①②④

9

10

11

12

13

14

或0

点P在圆内

①②③

15．解： （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：

所以低于50分的人数为（人）………………………………………….5分

（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），

频率和为

所以，抽样学生成绩的合格率是%.

于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为%……………………………………9分.

（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：  ……………14分

16．解：（1），

即，

∴，∴．

∵，∴．………………………………………………………………7分

（2）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．

从而．

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

17．(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点，

        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

       ∴即EP∥平面A′FB                  …………………………………………7分

(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

     BC平面A′BC

   ∴平面A′BC⊥平面A′EC             …………………………………………14分

注：直角三角形条件在证这两问时多余了，可直接用两侧面的直角三角形证明即可。

18．解：（1）取弦的中点为M，连结OM

由平面几何知识，OM=1

     得：，  

∵直线过F、B ，∴则     …………………………………………6分

（2）设弦的中点为M，连结OM

则

       解得     

∴                    …………………………………………15分

（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得）

19．

第(3)问的构造法可直接用第二种方法，作差后用代换即可。

20．解：（1）由方程组的解为不符合题设，可证。_{………3分}

（2）假设存在。

由方程组，得，即_…5分

设（），可证：当时，单调递减且；当时，单调递减且。

，设，则。_{………7分}

①当时，，递增，故，

于是，在上单调递减。

设，则，在上递增，，即，所以。_{………9分}

②当时，，递减，故，

于是，在上单调递减。

，在上递减，，即，所以

由函数（）的性质可知满足题设的不存在。_{………11分}

（3）假设1，，是一个公差为的等差数列的第r、s、t项，又是一个等比为等比数列的第r、s、t项。于是有：，

，

从而有， 所以。

设，同（2）可知满足题设的不存在_{………16分}

注：证法太繁，在第二问中，可用来表示，消去可得，则构造易得到极值点为。

附加题参考答案

附1．（1）设M=，则有=，=，

所以且   解得，所以M=．…………………………5分

（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．

因为，所以又m：，

所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………10分

附2．解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（1），，由得．

所以．

即为圆的直角坐标方程． 

同理为圆的直角坐标方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相减得过交点的直线的直角坐标方程为． …………………………10分

附3．（1）设P（x，y），根据题意，得．

化简，得．………………………………………………………………5分

（2）．……………………………………10分

附4．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知               ………………………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4．   ，

 ；………………8分

 故ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

  答：ξ的数学期望为       …………10分