如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁，E₁，F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，连接D₁E₁，E₁F₁，F₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用S表示△AD₁F₁的面积S₁=

1

4

，△D₁E₁F₁的面积S₁′=

1

4

；
（2）当D₂，E₂，F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB时，如图②，求△AD₂F₂的面积S₂和△D₂E₂F₂的面积S₂′；
（3）按照上述思路探索下去，当D_n，E_n，F_n分别是等边△ABC三边上的点，且AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB时（n为正整数），求△AD_nF_n的面积S_n，△D_nE_nF_n的面积S_n′．

如图1，△ABC为等边三角形，面积为1．D、E、F分别是△ABC三边上的点，且AD=BE=CF=

1

2

AB，连接DE，EF，FD，可得△DEF，并记△DEF的面积为S₁；当AD=BE=CF=

1

3

AB时，如图2，并记△DEF的面积为S₂；按照上述思路探索下去，当AD=BE=CF=

1

10

AB时，△DEF的面积S₉=．

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=

1

4

S，△D₁E₁F₁的面积S₁=

1

4

S．
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=；若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=．

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁，E₁，F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=AB，连接D₁E₁，E₁F₁，F₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用S表示△AD₁F₁的面积S₁=，△D₁E₁F₁的面积S₁′=；
（2）当D₂，E₂，F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=AB时，如图②，求△AD₂F₂的面积S₂和△D₂E₂F₂的面积S₂′；
（3）按照上述思路探索下去，当D_n，E_n，F_n分别是等边△ABC三边上的点，且AD_n=BE_n=CF_n=AB时（n为正整数），求△AD_nF_n的面积S_n，△D_nE_nF_n的面积S_n′．