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    Q:函数存在极大值和极小值. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    已知命题： P：对任意,不等式恒成立；

    q：函数存在极大值和极小值。

    求使命题“p且q”为真命题的m的取值范围。

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    已知命题： P：对任意,不等式恒成立；
    q：函数存在极大值和极小值。
    求使命题“p且q”为真命题的m的取值范围。

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    已知命题：p：对任意a∈[1，2]，不等式恒成立；
    q：函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极大值和极小值；
    求使命题“p且q”为真命题的m的取值范围。

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    一、选择题：

    1―5：ACCCB　　6―10：CDACD　　 11―12：BC  

    二、填空题：

    13．2  14．   15．5   16．①   ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数

    三、解答题：

    17．（本小题满分12分）

    解：（I）……………………2分

    ……………………4分

           ……………………………………………………………………5分

       （II）、B均为锐角且B<A

        又C为钝角

        ∴最短边为b……………………………………………………7分

        由，解得………………………………9分

        又…………………………12分

    18．（本小题满分12分）

           解：（I）

    ………………………………3分

    故…………………………………………………4分

       （II）令.

        若时，当时，函数

        …………………………………………………………6分

        若时，当时，函数

        …………………………………………………………8分

       （III）由

        确定单调递增的正值区间是；

        由

        确定单调递减的正值区间是；………10分

        综上，当时，函数的单调递增区间为.

        当时，函数的单调递增区间为.……12分

           注：①

         的这些

    等价形式中，以最好用. 因为复合函数

    的中间变量是增函数，对求的单调区间来说，

    只看外层函数的单调性即可.否则，利用的其它形

    式，例如求单调区间是非常容易出错的. 同学们可以尝试做一

    下的其它形式，认真体会，比较优劣！

           ②今后遇到求类似的单调区间问题，应首先通过诱导公式将转化为标准形

    式：（其中A>0，ω>0），然后再行求

    解，保险系数就大了.

    19．（本小题满分12分）

           解：（I）由已知……………………1分

        …………3分

    由已知

    ∴公差d=1…………………………………………………………4分

    ……………………………………………………6分

       （II）设…………………………7分

        当时，是k的增函数，也是k的增函数.

        ………………………………10分

        又

        *不存在，使…………………………………12分

    20．（本小题满分12分）

    解：恒成立

    只需小于的最小值…………………………………………2分

    而当时，≥3……………………………………………4分

    ……………………………………………………6分

    存在极大值与极小值

    有两个不等的实根…………………………8分

    或…………………………………………………………10分

    要使“P且Q”为真，只需

    故m的取值范围为[2，6].…………………………………………………12分

    21．（本小题满分12分）

    解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元………1分

           依题意可得约束条件：

     

           利润目标函数…………（7分）                            

    如图，作出可行域，作直线，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值.…………10分

           解方程组，得M（20，24）

    故生产甲种产品20t，乙种产品24 t，才能使此工厂获得最大利润.…………12分

    22．（本小题满分14分）

    解：（Ⅰ）依题意

    ∴

          =5n－4    ……………………3分

    （Ⅱ）（1）由

    得

    即 

    ∴    ……………………6分

    即      

    ∵

    ∴是以为首项，为公差的等差数列  ………………8分

    （2）由（1）得

    ∴    ………………10分

    ∴

           ①

    ∴2  ②

    ①－②得  

                   =

    ∴  ………………14分


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