已知，函数

（1）当时，求函数在点(1，)的切线方程；

(2)求函数在[－1，1]的极值；

(3)若在上至少存在一个实数x₀，使>g(x_o)成立，求正实数的取值范围。

【解析】本试题中导数在研究函数中的运用。（1）中，那么当时，  又    所以函数在点(1，)的切线方程为；（2）中令   有 

对a分类讨论，和得到极值。（3）中，设，，依题意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  当时，  又    

∴  函数在点(1，)的切线方程为 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         当即时

故的极大值是，极小值是

②         当即时，在（－1,0）上递增，在（0,1）上递减，则的极大值为，无极小值。 

综上所述   时，极大值为，无极小值

时  极大值是，极小值是        ----------8分

（Ⅲ）设，

对求导，得

∵，    

∴ 在区间上为增函数，则

依题意，只需，即 

解得  或（舍去）

则正实数的取值范围是（，）

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时) 的关系为，其中是与气象有关的参数，且．

（1）令, ，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；

（2）若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作，求；

（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

【解析】第一问利用定义法求证单调性，并判定结论。

第二问（2）由函数的单调性知，

∴，即t的取值范围是． 

当时，记

则 

∵在上单调递减，在上单调递增，

第三问因为当且仅当时，.

故当时不超标，当时超标．

已知曲线C:(m∈R)

（1）   若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（2）     设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。

【解析】（1）曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得，所以m的取值范围是

(2)当m=4时，曲线C的方程为，点A,B的坐标分别为，

由，得

因为直线与曲线C交于不同的两点，所以

即

设点M，N的坐标分别为，则

直线BM的方程为，点G的坐标为

因为直线AN和直线AG的斜率分别为

所以

即,故A，G，N三点共线。