题目列表(包括答案和解析)
甲船由岛出发向北偏东的方向作匀速直线航行,速度为海里∕小时,在甲船从岛出发的同时,乙船从岛正南海里处的岛出发,朝北偏东的方向作匀速直线航行,速度为海里∕小时。
⑴求出发小时时两船相距多少海里?
⑴ 两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?
【解析】第一问中根据时间得到出发小时时两船相距的海里为
第二问设时间为t,则
利用二次函数求得最值,
解:⑴依题意有:两船相距
答:出发3小时时两船相距海里
⑵两船出发后t小时时相距最近,即
即当t=4时两船最近,最近距离为海里。
如图,,,…,,…是曲线上的点,,,…,,…是轴正半轴上的点,且,,…,,… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形(为坐标原点).
(1)写出、和之间的等量关系,以及、和之间的等量关系;
(2)求证:();
(3)设,对所有,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】第一问利用有,得到
第二问证明:①当时,可求得,命题成立;②假设当时,命题成立,即有则当时,由归纳假设及,
得
第三问
.………………………2分
因为函数在区间上单调递增,所以当时,最大为,即
解:(1)依题意,有,,………………4分
(2)证明:①当时,可求得,命题成立; ……………2分
②假设当时,命题成立,即有,……………………1分
则当时,由归纳假设及,
得.
即
解得(不合题意,舍去)
即当时,命题成立. …………………………………………4分
综上所述,对所有,. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因为函数在区间上单调递增,所以当时,最大为,即
.……………2分
由题意,有. 所以,
袋子中装有大小形状完全相同的m个红球和n个白球,其中m,n满足m>n≥2且m+n≤l0(m,n∈N+),若从中取出2个球,取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率.
(Ⅰ) 求m,n的值;
(Ⅱ) 从袋子中任取3个球,设取到红球的个数为,求的分布列与数学期望.
【解析】第一问中利用,解得m=6,n=3.
第二问中,的取值为0,1,2,3. P(=0)= , P(=1)=
P(=2)= , P(=3)=
得到分布列和期望值
解:(I)据题意得到 解得m=6,n=3.
(II)的取值为0,1,2,3.
P(=0)= , P(=1)=
P(=2)= , P(=3)=
的分布列为
所以E=2
某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道,沿前侧内墙保留宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
【解析】本试题考查了实际生活中的最值问题的运用,首先确定设矩形温室的长为xm,则宽为800/xm。
依题意有:种植面积:
运用导数的思想得到最值。
设矩形温室的长为xm,则宽为800/xm。
依题意有:种植面积:
答:当矩形温室的长为20m,宽为40m时种植面积最大,最大种植面积是m2
在中,已知 ,面积,
(1)求的三边的长;
(2)设是(含边界)内的一点,到三边的距离分别是
①写出所满足的等量关系;
②利用线性规划相关知识求出的取值范围.
【解析】第一问中利用设中角所对边分别为
由得
又由得即
又由得即
又 又得
即的三边长
第二问中,①得
故
②
令依题意有
作图,然后结合区域得到最值。
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