题目列表(包括答案和解析)
设f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),则称f(x)为定义在D上的C函数.
(1)试判断函数f1(x)=x2,中哪些是各自定义域上的C函数,并说明理由;
(2)已知f(x)是R上的C函数,m是给定的正整数,设an=f(n),n=0,1,2…,m,且a0=0,am=2m,记Sf=a1+a2+…+am.对于满足条件的任意函数f(x),试求Sf的最大值;
(3)若f(x)是定义域为R的函数,且最小正周期为T,试证明f(x)不是R上的C函数.
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设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)将函数y=f(x)图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ(x)的图象,试写出y=φ(x)的解析式及值域;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
设函数
f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.(1)
将函数y=f(x)图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ(x)的图象,试写出y=φ(x)的解析式及值域;(2)
关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;(3)
对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.
(1)求f()的值,试判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)一个各项均为正数的数列{an},它的前n项和是Sn,若a1=3,且f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数M,使2n·a1·a2……an≥M··(2a1-1)·(2a2-1)……(2an-1)
对于一切正整数n均成立?若存在,求出M的范围;若不存在,请说明理由.
1-12题 AAAAA CDDCD BB
13、等腰梯形;14、;15、充分非必要;16、186
17、
18、解:由+25+|-5|≥,而,等号当且仅当时成立;且,等号当且仅当时成立;所以,,等号当且仅当时成立;故。
19、(Ⅰ)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败的风险至少要投入11万元的宣传费;表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要回避失败的风险至少要投入21万元的宣传费.
(Ⅱ)设甲、乙公司投入的宣传费分别为、万元,当且仅当①,
且……②时双方均无失败的风险,
由①②得易解得,
所以,故.
20、解:(1) 令g(x)=f(x)-2x=ln(x+m)-2x, 则g(x)=-2
∵x≥2-m ∴x+m≥2 ∴≤ 从而g(x)=-2≤-2<0
∴g(x)在[2-m, +上单调递减 ∴x=2-m时,
g(x)=f(x)-2x最大值=ln(2-m+m)-2(2-m)=ln2+
(2) 假设f(x)=x还有另一解x=() 由假设知
-=f()-f()=f(x)?(-) x[2-m, +
故f(x)=1, 又∵f(x)=≤<1 矛盾
故f(x)=x有唯一解x=
21、
22、解:(1)若,则在定义域内存在,
使得,∵方程无解,
∴.
,
当时,, 当时,由,
得。
∴ .
,
又∵函数图象与函数的图象有交点,设交点的横坐标为,
则,其中,
∴,即 .
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