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    已知函数．(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数.求a的取值范围, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    若函数f（x）满足f（x+2）=f（x+1）-f（x），有以下命题：
    ①函数f（x）可以为一次函数；      
    ②函数f（x）的最小正周期一定为6；
    ③若函数f（x）为奇函数且f（1）=0，则在区间[-5，5]上至少有11个零点；
    ④若ω、φ∈R且ω≠0，则当且仅当ω=2kπ+
    π
    3
    （k∈Z）时，函数f（x）=cos（ωx+φ）满足已知条件．
    其中错误的是（　　）

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    若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．
    （1）已知f(x)=x
    12
    是[0，+∞）上的正函数，求f（x）的等域区间；
    （2）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
    x1+x2
    2
    )＜
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
    （Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
    （Ⅱ）已知f（x）=ln（1+ex）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

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    设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）在D上的“k阶增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，x＞0时，f（x）=|x-a|-a，其中a为正常数，若f（x）为R上的“2阶增函数”，
    则实数a的取值范围是（　　）

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    已知函数．
    （1）若y=f（x）在x=1处的极值为，求y=f（x）的解析式并确定其单调区间；
    （2）当x∈（0，1]时，若y=f（x）的图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求当时a的取值范围．

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    一、选择题（每小题5分，共40分）

    1－8．BACDD    CCD

    二、填空题（每小题5分，共30分）

    9． 必要非充分

    10．  4 

    11． 3

    12．（e，e）          

    13． x + 6     说明：f（x） = ax + 6 （a = 1，2，3，4，5）均满足条件．

    14．   10  ．

     

    三、解答题（共80分）

    15．（12分）

    ．

    16．（13分）

    （1）当6≤t<9时.（2分）

        （3分）

       

        （5分）

        （分钟）（6分）

    （2）

        ∴（分钟）（8分）

    （3）

    ∴（分钟）

    综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟。（13分）

    17．（13分）

    ，∴（4分）

    ∴（6分）

    “有且只有一个实数满足”，即抛物线与x轴有且只有一个交点，

    ∴，∴（10分）

    ∴

    ∴（13分）

    18．（14分）

    19．（14分）

    （1），∴．

    要使函数f（x）在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，

    当在内恒成立；

    当要使恒成立，则，解得，

    当要使恒成立，则，解得，

    所以的取值范围为或或．

    根据题意得：，∴

    于是，

    用数学归纳法证明如下：

    当，不等式成立；

    假设当时，不等式成立，即也成立，

    当时，，

    所以当，不等式也成立，

    综上得对所有时5，都有．

    （3） 由（2）得，

    于是，

    所以，

    累乘得：，

    所以．

    20．（14分）

    （1）∵定义域{x| x ≠ kπ，k∈Z }关于原点对称，

    又f（- x） = f [（a - x） - a]= = = = = = - f （x），

    对于定义域内的每个x值都成立

    ∴ f（x）为奇函数（4分）

    （2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为4a．（8分）

    （3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]= = = 0，

    f（3a）= f（2a + a）= f [2a -（- a）]= = = - 1．

    先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x） < 0，

    设2a < x < 3a，则0 < x - 2a < a，

    ∴ f（x - 2a）= = - > 0，

    ∴ f（x）< 0（10分）

    设2a < x1 < x2 < 3a，

    则0 < x2 - x1 < a，∴ f（x1）< 0   f（x2）< 0  f（x2 - x1）> 0，

    ∴ f（x1）- f（x2）= > 0，

    ∴ f（x1）> f（x2），

    ∴ f（x）在[2a，3a]上单调递减（12分）

    ∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a = 0，最小值为f（3a）= - 1（14分）


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