一个多面体的三视图及直观图如图所示：
（Ⅰ）求异面直线AB₁与DD₁所成角的余弦值：
（Ⅱ）试在平面ADD₁A₁中确定一个点F，使得FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

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一个多面体的三视图及直观图如图所示：
（Ⅰ）求异面直线AB₁与DD₁所成角的余弦值：
（Ⅱ）试在平面ADD₁A₁中确定一个点F，使得FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

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（2012•广州一模）如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求三棱锥A-CDE的体积；
（3）在（2）的条件下，求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

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（2011•许昌三模）已知四棱锥S-ABCD中，AB=BC=CD=DA=SA=2，底面ABCD是正方形，SD=SB=2

2

．
（I）在该四棱锥中，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；
（Ⅱ）用多少个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁？说明你的结论．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁的中点为N，棱DD₁的中点为M，求二面角A-MN-C的大小的余弦值．

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（2010•聊城一模）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．
（1）求证：AB⊥平面PBC；
（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；
（3）在（2）的条件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

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一、选择题（8小题，每题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

B

B

A

C

D

B

A

D

二、填空题（6小题，每题5分，共30分）

11． 5 ；    12．       13．15 ； 15         14。2；   15．

三、解答题（6小题，共80分）

16．解：（1）

----------------5分

    因为最小正周期为，∴        ，∴；----------6分

（2）由（1）知                   ，

因为，∴-------------------8分

因为             ，∴                   

所以或----------------10分

     所以         或       .------------------12分

17．解：（1）已知函数，       _------2分   

又函数图象在点处的切线与直线平行，且函数在处取得极值，，且，解得

，且   --------------5分     

令，        

所以函数的单调递减区间为  -----------------8分           

（2）当时，，又函数在上是减函数

在上恒成立，   --------------10分 

即在上恒成立。----------------12分

18．解：(1)

分组

频数

频率

50.5~60.5

4

0.08

60.5~70.5

8

0.16

70.5~80.5

10

0.20

80.5~90.5

16

0.32

90.5~100.5

12

0.24

合计

50

1.00

---------------------4分

(2) 频数直方图如右上所示--------------------------------8分

(3) 成绩在75.5~80.5分的学生占70.5~80.5分的学生的，因为成绩在70.5~80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为0.1 ，---------10分

成绩在80.5~85.5分的学生占80.5~90.5分的学生的，因为成绩在80.5~90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16  -------------12分

所以成绩在76.5~85.5分的学生频率为0.26，

由于有900名学生参加了这次竞赛，

所以该校获得二等奖的学生约为0.26´900=234（人）    -------------14分

19．解（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD=A

∴MN⊥平面PAD  ………………3分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分

（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA=A   ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角  即…………7分

在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=

∴  ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN

∴∠PMQ即为二面角P―MN―Q的平面角  …………12分

而      ∴   …………14分

20．（14分）

解（1），动圆的半径为r，则|PQ₁|=r+3，

|PQ₂|= r+1，|PQ₁|－|PQ₂|=2，…………………3分

点P的轨迹是以O₁、O₂为焦点的双曲线右支，a=1，c=2，

方程为………………………………………………6分

   （2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），当k不存在时，不合题意.

       直线PQ的方程为y=k（x－3），

则

       ………………8分

       由

       、

       …………………………………………………………10分

       …………14分

21.  (1)设_{----------------3}

,又

_{---------------------------------5}

(2)由已知得

两式相减得,_{-------------------------7}

当.若

_{-------------------------------9}分

(3) 由,

.-----------------------------------11分

若

_{------------------------------13}

可知,_{-------------------------------14}. 分