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    6．已知正数x.y满足等式x+y-2xy+4＝0.则A．xy的最大值是2.且x+y的最小值为4 B．xy的最小值是4.且x+y的最大值为4C．xy的最大值是2.且x+y的最大值为4 D．xy的最小值是4.且x+y的最小值为4 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)在直线y＝x＋上；数列{bn}满足bn+2－2bn+1－bn＝0(n∈N*)，且b3＝11，它的前9项和为153．

    (1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

    (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；

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    若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m．

    (1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围；

    (2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab；

    (3)已知函数f(x)的定义域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)．

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    若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m．

    (1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围；

    (2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；

    (3)已知函数f(x)的定义域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)．

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    已知函数f(t)对任意实数x、y都有：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y＋2)＋3，且f(1)＝1．

    (1)求f(0)、f(－1)、f(2)的值；

    (2)若t为正整数，求f(t)的表达式．

    (3)满足条件f(t)＝t的所有整数t能否构成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由．

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    已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标是(，－)，且f(3)＝2

    (Ⅰ)求y＝f(x)的表达式，并求出f(1)，f(2)的值；

    (Ⅱ)数列{an}，{bn}，若对任意的实数x都满足g(x)·f(x)＋anx＋bn＝xn+1，n∈N*，其中g(x)是定义在实数R上的一个函数，求数列{an}、{bn}的通项公式；

    (Ⅲ)设圆Cn：(x－an)2＋(y－bn)2＝，若圆Cn与圆Cn+1外切，{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn是前n个圆的面积之和，求．(n∈N*)

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    一、选择题

    1．B　　2．A　　3．C　　4．B　　5．B　　6．D　　7．C　　8．C　　9．D　　10．A

    二、填空题

    11．　　12．　　13．－6　　14．；　　15．①②③④

    三、解答题

    16．解：⑴＝＝＝

    ＝                                                                                                                  3分

    ＝＝1＋1＋2cos2x＝2＋2cos2x＝4cos2x

    ∵x∈[0，]　　∴cosx≥0

    ∴＝2cosx                                                                                                     6分

    ⑵ f (x)＝cos2x－?2cosx?sinx＝cos2x－sin2x

          ＝2cos(2x＋)                                                                                            8分

    ∵0≤x≤　　∴  ∴　　∴

    ∴，当x＝时取得该最小值

    　，当x＝0时取得该最大值                                                                    12分

    17．由题意知，在甲盒中放一球概率为时，在乙盒放一球的概率为                  2分

    ①当n＝3时，x＝3，y＝0的概率为                                                 4分

    ②当n＝4时，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值为0，2，4

    (i)当ξ＝0时，有x＝2，y＝2，它的概率为                                      4分

    (ii)当ξ＝2时，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3

       它的概率为

    (iii)当ξ＝4时，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4

       它的概率为

    故ξ的分布列为

    ξ

    0

    2

    4

    10分

    p

    ∴ξ的数学期望Eξ＝                                                             12分

    18．解：⑴证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC

    又∵PB⊥BC  ∴BC⊥面PAB  ∴BC⊥PA

    同理CD⊥PA  ∴PA⊥面ABCD　　　　4分

    ⑵在AD上取一点O使AO=AD，连接E，O，

    则EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　过点O做

    OH⊥AC交AC于H点，连接EH，则EH⊥AC，

    从而∠EHO为二面角E－AC－D的平面角                                                             6分

    在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

    ∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，

    ∴二面角E－AC－D等于arctan                                                                    8分

    ⑶当F为BC中点时，PF∥面EAC，理由如下：

    ∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES

    ∵PF面EAC，EC面EAC　　∴PF∥面EAC，

    即当F为BC中点时，PF∥面EAC                                                                         12分

    19．⑴据题意，得                                                4分

                                                                              5分

    ⑵由⑴得：当5＜x＜7时，y＝39(2x3－39x2＋252x－535)

    当5＜x＜6时，y'＞0，y＝f (x)为增函数

    当6＜x＜7时，y'＜0，y＝f (x)为减函数

    ∴当x＝6时，f (x)极大值＝f (16)＝195                                                                      8分

    当7≤x＜8时，y＝6(33－x)∈(150，156]

    当x≥8时，y＝－10(x－9)2＋160

    当x＝9时，y极大＝160                                                                                           10分

    综上知：当x＝6时，总利润最大，最大值为195                                                     12分

    20．⑴设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，P(x，y)

    (x0≠－1且x0≠3)

    BN：y＝　　　②

    联立①②　　∴                                                                                        4分

    ∵点M(xo，yo)在圆⊙O上，代入圆的方程：

    整理：y2＝－2(x＋1)  (x＜－1)                                                                             6分

    ⑵由

    设S(x1、y1)，T(x2、y2)，ST的中点坐标(x0、y0)

    则x1＋x2＝－(3＋)

    x1x2＝                                                                                                           8分

    ∴

    中点到直线的距离

    ∴

    故圆与x＝－总相切．                                                                                         13分

    ⑵另解：∵y2＝－2(x＋1)知焦点坐标为(－，0)                                                   2分

    顶点(－1，0)，故准线x＝－                                                                               4分

    设S、T到准线的距离为d1，d2，ST的中点O'，O'到x＝－的距离为

    又由抛物线定义：d1＋d2＝|ST|，∴

    故以ST为直径的圆与x＝－总相切                                                                      8分

    21．解：⑴由，得

    令，有

    ∴

        ＝

        ＝

    又b1＝2a1＝2，                                                                               3分

    ∴

    ∴                                                                                    4分

    ⑵证法1：(数学归纳法)

    1°，当n＝1时，a1＝1，满足不等式                                                    5分

    2°，假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立

    即，那么

    即                                                                                                       7分

    又

    由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                           9分

    ⑵证法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可参照给分)

    ∵，，∴

    ∵  ∵

    ∴  ∴

    当n＝1时，，综上

    ⑵证法3：

    ∴{an}为递减数列

    当n＝1时，an取最大值　　∴an≤1

    由⑴中知　　

    综上可知

    ⑶

    欲证：即证                                                                             11分

    即ln(1＋Tn)－Tn＜0，构造函数f (x)＝ln(1＋x)－x

    ∵当x＞0时，f ' (x)＜0

    ∴函数y＝f (x)在(0，＋∞)内递减

    ∴f (x)在[0，＋∞)内的最大值为f (0)＝0

    ∴当x≥0时，ln(1＋x)－x≤0

    又∵Tn＞0，∴ln(1＋Tn)－Tn＜0

    ∴不等式成立                                                                                           14分

     


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