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    ⑵设动直线l:y＝k(x+)与曲线C交于S.T两点．求证:无论k为何值时.以动弦ST为直径的圆总与定直线x＝-相切． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．

    (1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

    (2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

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    已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．

    (1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

    (2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

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    已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．

    (1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

    (2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z与(1)中所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

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    （本小题16分）已知点A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹

    为曲线W.

    (1)直接写出W的方程（不写过程）；

    (2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，是否存在常数k，使得向量与向量共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

    （3）设W的左右焦点分别为F1、 F2，点R在直线l：x－y＋8＝0上．当∠F1RF2取最大值时，求的值.

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    已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点P为其上一点，F1，F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R．

    (1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

    (2)设点R形成的曲线为C，直线l：y＝k(x＋a)与曲线C相交于A，B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值．

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    一、选择题

    1．B　　2．A　　3．C　　4．B　　5．B　　6．D　　7．C　　8．C　　9．D　　10．A

    二、填空题

    11．　　12．　　13．－6　　14．；　　15．①②③④

    三、解答题

    16．解：⑴＝＝＝

    ＝                                                                                                                  3分

    ＝＝1＋1＋2cos2x＝2＋2cos2x＝4cos2x

    ∵x∈[0，]　　∴cosx≥0

    ∴＝2cosx                                                                                                     6分

    ⑵ f (x)＝cos2x－?2cosx?sinx＝cos2x－sin2x

          ＝2cos(2x＋)                                                                                            8分

    ∵0≤x≤　　∴  ∴　　∴

    ∴，当x＝时取得该最小值

    　，当x＝0时取得该最大值                                                                    12分

    17．由题意知，在甲盒中放一球概率为时，在乙盒放一球的概率为                  2分

    ①当n＝3时，x＝3，y＝0的概率为                                                 4分

    ②当n＝4时，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值为0，2，4

    (i)当ξ＝0时，有x＝2，y＝2，它的概率为                                      4分

    (ii)当ξ＝2时，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3

       它的概率为

    (iii)当ξ＝4时，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4

       它的概率为

    故ξ的分布列为

    ξ

    0

    2

    4

    10分

    p

    ∴ξ的数学期望Eξ＝                                                             12分

    18．解：⑴证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC

    又∵PB⊥BC  ∴BC⊥面PAB  ∴BC⊥PA

    同理CD⊥PA  ∴PA⊥面ABCD　　　　4分

    ⑵在AD上取一点O使AO=AD，连接E，O，

    则EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　过点O做

    OH⊥AC交AC于H点，连接EH，则EH⊥AC，

    从而∠EHO为二面角E－AC－D的平面角                                                             6分

    在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

    ∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，

    ∴二面角E－AC－D等于arctan                                                                    8分

    ⑶当F为BC中点时，PF∥面EAC，理由如下：

    ∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES

    ∵PF面EAC，EC面EAC　　∴PF∥面EAC，

    即当F为BC中点时，PF∥面EAC                                                                         12分

    19．⑴据题意，得                                                4分

                                                                              5分

    ⑵由⑴得：当5＜x＜7时，y＝39(2x3－39x2＋252x－535)

    当5＜x＜6时，y'＞0，y＝f (x)为增函数

    当6＜x＜7时，y'＜0，y＝f (x)为减函数

    ∴当x＝6时，f (x)极大值＝f (16)＝195                                                                      8分

    当7≤x＜8时，y＝6(33－x)∈(150，156]

    当x≥8时，y＝－10(x－9)2＋160

    当x＝9时，y极大＝160                                                                                           10分

    综上知：当x＝6时，总利润最大，最大值为195                                                     12分

    20．⑴设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，P(x，y)

    (x0≠－1且x0≠3)

    BN：y＝　　　②

    联立①②　　∴                                                                                        4分

    ∵点M(xo，yo)在圆⊙O上，代入圆的方程：

    整理：y2＝－2(x＋1)  (x＜－1)                                                                             6分

    ⑵由

    设S(x1、y1)，T(x2、y2)，ST的中点坐标(x0、y0)

    则x1＋x2＝－(3＋)

    x1x2＝                                                                                                           8分

    ∴

    中点到直线的距离

    ∴

    故圆与x＝－总相切．                                                                                         13分

    ⑵另解：∵y2＝－2(x＋1)知焦点坐标为(－，0)                                                   2分

    顶点(－1，0)，故准线x＝－                                                                               4分

    设S、T到准线的距离为d1，d2，ST的中点O'，O'到x＝－的距离为

    又由抛物线定义：d1＋d2＝|ST|，∴

    故以ST为直径的圆与x＝－总相切                                                                      8分

    21．解：⑴由，得

    令，有

    ∴

        ＝

        ＝

    又b1＝2a1＝2，                                                                               3分

    ∴

    ∴                                                                                    4分

    ⑵证法1：(数学归纳法)

    1°，当n＝1时，a1＝1，满足不等式                                                    5分

    2°，假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立

    即，那么

    即                                                                                                       7分

    又

    由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                           9分

    ⑵证法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可参照给分)

    ∵，，∴

    ∵  ∵

    ∴  ∴

    当n＝1时，，综上

    ⑵证法3：

    ∴{an}为递减数列

    当n＝1时，an取最大值　　∴an≤1

    由⑴中知　　

    综上可知

    ⑶

    欲证：即证                                                                             11分

    即ln(1＋Tn)－Tn＜0，构造函数f (x)＝ln(1＋x)－x

    ∵当x＞0时，f ' (x)＜0

    ∴函数y＝f (x)在(0，＋∞)内递减

    ∴f (x)在[0，＋∞)内的最大值为f (0)＝0

    ∴当x≥0时，ln(1＋x)－x≤0

    又∵Tn＞0，∴ln(1＋Tn)－Tn＜0

    ∴不等式成立                                                                                           14分

     


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