对定义域分别是的函数,.——青夏教育精英家教网—

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对定义域分别是的函数，规定：函数

，若，

则的值域是__________________。

对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)+g(x)，当x∈F且x∈G
f(x)，当x∈F且x∉G

g(x)，当x∉F且x∈G

已知函数f（x）=x²，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）对于实数a，函数h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由．

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对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h(x)=

f(x)•g(x) 当x∈Df且x∈Dg

f(x) 当x∈Df且x∉Dg

g(x) 当x∉Df且x∈Dg

．
（1）若函数f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域．

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对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)•g(x) 当x∈Df且x∈Dg

1 当x∈Df且x∉Dg

-1 当x∉Df且x∈Dg

．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，写出h（α）的解析式；
（2）写出问题（1）中h（α）的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

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对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)•g(x) (当x∈Df且x∈Dg)

f(x) (当x∈Df且x∉Dg)

g(x) (当x∉Df且x∈Dg)

（Ⅰ）若函数f(x)=

1

x-1

，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

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一、选择题：

（1）D （2）B （3）C （4）B （5）B （6）A

（7）C （8）A （9）D （10）B （11）C （12）B

二、填空题：

（13）2 （14）（15）200 （16）②③

三、解答题

17. (1) 故函数的定义域是(－1,1). ………… 2分

(2)由,得(R),所以, …………… 5分

所求反函数为( R). ………………… 7分

(3) ==－,所以是奇函数.……… 12分

18. (1)设,则. ………………… 1分

由题设可得即解得 ………………… 5分

所以. ………………… 6分

(2) ,. …… 8分

列表:

－

＋

－

＋

………………… 11分

由表可得:函数的单调递增区间为, ……………… 12分

19.（1）证明：设，且，

则，且. ………………… 2分

∵在上是增函数，∴. ………………… 4分

又为奇函数，∴,

∴, 即在上也是增函数. ……………… 6分

（2）∵函数在和上是增函数，且在R上是奇函数，

∴在上是增函数. …………………… 7分

于是

. ………… 10分

∵当时，的最大值为，

∴当时，不等式恒成立. ……………… 12分

20. ∵AB=x, ∴AD=12－x. ………………1分

又，于是. ………………3分

由勾股定理得整理得 …………5分

因此的面积 . ……7分

由得 ………………8分

∴

∴. ………………10分

当且仅当时，即当时，S有最大值 ……11分

答：当时，的面积有最大值 ………………12分

21. (1) h (x) …………………5分

(2) 当x≠1时, h(x)= =x－1++2, ………………6分

若 x > 1时, 则 h (x)≥4,其中等号当 x = 2时成立 ………………8分

若x<1时, 则h (x) ≤ 0,其中等号当 x = 0时成立 ………………10分

∴函数 h (x)的值域是 (－∞,0 ] ∪ { 1 } ∪ [ 4 ,＋∞) ………………12分

22. （1）

切线PQ的方程 ………2分

（2）令y=0得 ………4分

由解得 . ………6分

又0<t<6, ∴4<t<6， ………7分

g (t)在(m, n)上单调递减，故（m, n） ………8分

（3）当在（0，4）上单调递增，

∴P的横坐标的取值范围为. ………14分

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