已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=

1

2

，且a_n+2=

an+12

an+an+1

(n∈N*)．
（I）求证：数列{

an

an+1

}为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．

已知数列{a_n}满足：a1=1，an+1=

1

2

an+

n

2n+1

(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

2n-1

≤an≤1；
（Ⅲ）设Tn=

2n

n2-n+4

an，且Kn=ln(1+Tn)+

1

2

Tn2，证明：

2

Tn+2

＜

Tn

Kn

．

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=x（x∈N^*），a_n+2=|a_n+1-a_n|，若前2010项中恰好含有666项为0，则x的值为．

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0），数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a-1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

已知数列{a_n}满足：a₁=1且an+1=

3+4an

12-4an

， n∈N*．
（1）若数列{b_n}满足：bn=

1

an- 1 2

(n∈N*)，试证明数列b_n-1是等比数列；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；
（3）数列{a_n-b_n}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．