已知抛物线C：y²=4x．
（1）设圆M过点T（2，0），且圆心M在抛物线C上，PQ是圆M在y轴上截得的弦，当点M在抛物线上运动时，弦长|PQ|是否为定值？说明理由；
（2）过点D（-1，0）的直线与抛物线C交于不同的两点A、B，在x轴上是否存在一点E，使△ABE为正三角形？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

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已知抛物线C：y²=4x．
（1）设圆M过点T（2，0），且圆心M在抛物线C上，PQ是圆M在y轴上截得的弦，当点M在抛物线上运动时，弦长|PQ|是否为定值？说明理由；
（2）过点D（-1，0）的直线与抛物线C交于不同的两点A、B，在x轴上是否存在一点E，使△ABE为正三角形？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

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如图，已知点F（0，1），直线m：y=-1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）（理）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y），求y的取值范围；
（3）（理）对于（2）中的点A、B，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD为等边三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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一、选择题

    （1）C                 （2）B          （3）D          （4）A          （5）B

    （6）B                 （7）B          （8）D          （9）D          （10）A

    （11）B        （12）C

二、填空题

    （13）                  （14）－6            （15）            （16）576

三、解答题

    （17）（本小题满分12分）

    解：（I）当时，。

    依条件有：

    ∴

    ∴的单调增区间为  6分

    （II）设

    ∴

    ∴

    ∴

    依条件令，即时，为偶函数。  12分

    （18）（本小题满分12分）

    解：（I）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有种方法，∴前两次取出的产品都是二等品的概率为；  6分

    （II）的所有可能取值为2，3，4，∴的概率分布为

2

3

4

P

    ∴  12分

    （19）（本小题满分12分）

    （I）证明：∵ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

    ∴CC₁⊥平面ABC，∴AC⊥CC₁。

    ∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B₁BCC₁。

    ∴B₁C是AB₁在平面B₁BCC₁上的射影。

    ∵BC＝CC₁，∴四边形B₁BCC₁是正方形。

    ∴BC₁⊥B₁C。根据三垂线定理得

    AB₁⊥BC₁  4分

    （II）解：设，作OP⊥AB₁于点P

    连结BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B₁C，

    ∴BO⊥平面AB₁C

    ∴OP是BP在平面AB₁C上的射影。

    根据三垂线定理得AB₁⊥BP。

    ∴∠OPB是二面角B－AB₁－C的平面角

    ∵

    在Rt△POB中，

    ∴二面角B－AB₁－C的正切值为  8分

    （III）解：解法1：∵A₁C₁∥AC，AC平面AB₁C，

    ∴A₁C₁∥平面AB₁C。

    ∴点A₁到平面AB₁C的距离与点C₁到平面AB₁C的距离相等。

    ∵BC₁⊥平面AB₁C，

    ∴线段C₁O的长度为点A₁到平面AB₁C的距离

    ∴点A₁到平面AB₁C的距离为a  12分

    解法2：连结A₁C，有设点A₁到平面AB₁C的距离为h。

    ∵B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，∴?h＝，

    又

    ∴，

    ∴点A₁到平面AB₁C的距离为  12分

    （20）（本小题满分12分）

    解：（I）若在[0，）上是增函数，则时

    恒成立

    即恒成立

    ∴

    故a的取值范围是  6分

    （II）若上是增函数

    则恒成立

    即对所有的均成立

    得，与题设矛盾。

    ∴上不是增函数  12分

    （21）（本小题满分14分）

    解：（I）设E（x，y），则

    由已知得

    ∴

    即为点E的轨迹方程。  4分

    （II）设椭圆C的方程为，过F₁的直线为

    ，P、Q在椭圆C上，

    ∴

    两式相减，得  ①

    而，

    代入①得  ②

    由与圆相切，得代入②得，

    而椭圆C的方程为  9分

    （III）假设存在直线，设MN的中点为

    由|TM|＝|TN|，∴TP为线段MN的中垂线，其方程为

    又设

    相减并由

    整理得：

    又点P（－4k，2）在椭圆的内部

    ∴，解之得，即k不存在

    ∴不存在直线l满足题设条件。  14分

    （22）（本小题满分12分）

    解：（I）P₂表示从S点到A（或B、C、D），然后再回到S点的概率

    所以；

    因为从S点沿SA棱经过B或D，然后再回到S点的概率为，

    所以  4分

    （II）设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为P_n，那么表示爬行n米后恰好没回到S点的概率，则此时小虫必在A（或B、C、D）点

    所以  8分

    （III）由

    从而

    所以

                             12分