题目列表(包括答案和解析)
①若m∥n，则m、n与α所成的角相等； ②若m∥α，n∥α，则m∥n；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ④若m与n异面且m∥α，则n与α相交．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
对于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ，给出下列三个命题：
①若l与m为异面直线，
，则α∥β；
②若α∥β，，则l∥m；
③若
，l∥γ，则m∥n．
其中真命题的个数为
A．3
B．2
C．1
D．0
一．选择题：DCBBA
二．填空题：11．4x－3y－17 = 0 12．33 13．
14．
15．
三．解答题：
16．(1)解：由频率分布条形图知，抽取的学生总数为
人 4分
∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d
由4×22＋6d = 100解得：d = 2 6分
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． 8分
(2)解：在抽取的学生中，任取一名学生，分数不小于90分的概率为
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75 12分
17．(1)解：∵
，
2分
∴由
得：
，即
4分
又∵
，∴
6分
(2)解：
8分
由
得：
，即
10分
两边平方得：
，∴
12分
18．方法一
(1)证：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC 4分
(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角
6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小为45°
8分
(3)解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连结DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角
10分
设AB = a，在Rt△BHD中，
，
∴
， 10分
解得：
，即线段AB的长度为1 12分
方法二
(1)同方法一 4分
(2)解：设以过B点且∥CD的向量为x轴，
为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a，则A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，
= (1，1，0)，
= (0，0，a)
平面ABC的法向量
= (1，0，0)
设平面ABD的一个法向量为n = (x，y，z)，则
取n = (1，－1，0)
6分
∴二面角C－AB－D的大小为45° 8分
(3)解：
= (0，1，－a)，
= (1，0，0)，
= (1，1，0)
设平面ACD的一个法向量是m = (x，y，z)，则
∴取m = (0，a，1)，由直线BD与平面ACD所成角为30°，故向量、m的夹角为60°
故
10分
解得：，即线段AB的长度为1 12分
19．(1)解：设M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即
2分
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1
∴曲线C的方程为
． 4分
(2)解法一：设直线PQ方程为
(
∈R)
由
得：
6分
显然，方程①的
，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有
8分
令
，则t≥4，
10分
当
时有最大值9，故
，即S≤3，∴△APQ的最大值为3 12分
解法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
当直线PQ的斜率不存在时，易知S = 3
设直线PQ方程为
由
得：
① 6分
显然，方程①的△＞0，则
∴
8分
10分
令
，则
∴
，即S＜3
∴△APQ的最大值为3 12分
20．(1)解：
∵a＜0，∴
故函数f (x)在区间(－∞，
)、(－a，＋∞)上单调递增，在(，－a)上单调递减 4分
(2)解：∵二次函数
有最大值，∴a＜0 5分
由
得：
6分
∵函数
与
的图象只有一个公共点，
∴
，又a＜0，∴－1≤a＜0 8分
又
，∴
(－1≤a＜0) 10分
(3)解：当a < 0时，函数f (x)在区间(－∞，)、(－a，＋∞)上单调递增，
函数g (x)在区间(－∞，
)上单调递增
∴
12分
当a > 0时，函数f (x)在区间(－∞，－a)、(，＋∞)上单调递增，
函数g (x)在区间(，＋∞)上单调递增
∴
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，
]∪[3，＋∞) 13分
21．(1)解：记
令x = 1得：
令x =－1得：
两式相减得：
，∴
4分
当n≥2时，
当n = 1时，
，适合上式
∴
6分
(2)解：
注意到
8分
可改写为：
∴
故
10分
∴
12分
14分
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