第十部分 磁场

第一讲 基本知识介绍

《磁场》部分在奥赛考刚中的考点很少，和高考要求的区别不是很大，只是在两处有深化：a、电流的磁场引进定量计算；b、对带电粒子在复合场中的运动进行了更深入的分析。

一、磁场与安培力

1、磁场

a、永磁体、电流磁场→磁现象的电本质

b、磁感强度、磁通量

c、稳恒电流的磁场

*毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart law）：对于电流强度为I 、长度为dI的导体元段，在距离为r的点激发的“元磁感应强度”为dB 。矢量式d= k，（d表示导体元段的方向沿电流的方向、为导体元段到考查点的方向矢量）；或用大小关系式dB = k结合安培定则寻求方向亦可。其中 k = 1.0×10^?7N/A² 。应用毕萨定律再结合矢量叠加原理，可以求解任何形状导线在任何位置激发的磁感强度。

毕萨定律应用在“无限长”直导线的结论：B = 2k ；

*毕萨定律应用在环形电流垂直中心轴线上的结论：B = 2πkI ；

*毕萨定律应用在“无限长”螺线管内部的结论：B = 2πknI 。其中n为单位长度螺线管的匝数。

2、安培力

a、对直导体，矢量式为 = I；或表达为大小关系式 F = BILsinθ再结合“左手定则”解决方向问题（θ为B与L的夹角）。

b、弯曲导体的安培力

⑴整体合力

折线导体所受安培力的合力等于连接始末端连线导体（电流不变）的的安培力。

证明：参照图9-1，令MN段导体的安培力F₁与NO段导体的安培力F₂的合力为F，则F的大小为

F = 

  = BI

  = BI

关于F的方向，由于ΔFF₂P∽ΔMNO，可以证明图9-1中的两个灰色三角形相似，这也就证明了F是垂直MO的，再由于ΔPMO是等腰三角形（这个证明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中点了。

证毕。

由于连续弯曲的导体可以看成是无穷多元段直线导体的折合，所以，关于折线导体整体合力的结论也适用于弯曲导体。（说明：这个结论只适用于匀强磁场。）

⑵导体的内张力

弯曲导体在平衡或加速的情形下，均会出现内张力，具体分析时，可将导体在被考查点切断，再将被切断的某一部分隔离，列平衡方程或动力学方程求解。

c、匀强磁场对线圈的转矩

如图9-2所示，当一个矩形线圈（线圈面积为S、通以恒定电流I）放入匀强磁场中，且磁场B的方向平行线圈平面时，线圈受安培力将转动（并自动选择垂直B的中心轴OO′，因为质心无加速度），此瞬时的力矩为

M = BIS

几种情形的讨论——

⑴增加匝数至N ，则 M = NBIS ；

⑵转轴平移，结论不变（证明从略）；

⑶线圈形状改变，结论不变（证明从略）；

*⑷磁场平行线圈平面相对原磁场方向旋转α角，则M = BIScosα ，如图9-3；

证明：当α = 90°时，显然M = 0 ，而磁场是可以分解的，只有垂直转轴的的分量Bcosα才能产生力矩…

⑸磁场B垂直OO′轴相对线圈平面旋转β角，则M = BIScosβ ，如图9-4。

证明：当β = 90°时，显然M = 0 ，而磁场是可以分解的，只有平行线圈平面的的分量Bcosβ才能产生力矩…

说明：在默认的情况下，讨论线圈的转矩时，认为线圈的转轴垂直磁场。如果没有人为设定，而是让安培力自行选定转轴，这时的力矩称为力偶矩。

二、洛仑兹力

1、概念与规律

a、 = q，或展开为f = qvBsinθ再结合左、右手定则确定方向（其中θ为与的夹角）。安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现。

b、能量性质

由于总垂直与确定的平面，故总垂直 ，只能起到改变速度方向的作用。结论：洛仑兹力可对带电粒子形成冲量，却不可能做功。或：洛仑兹力可使带电粒子的动量发生改变却不能使其动能发生改变。

问题：安培力可以做功，为什么洛仑兹力不能做功？

解说：应该注意“安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现”这句话的确切含义——“宏观体现”和“完全相等”是有区别的。我们可以分两种情形看这个问题：（1）导体静止时，所有粒子的洛仑兹力的合力等于安培力（这个证明从略）；（2）导体运动时，粒子参与的是沿导体棒的运动v₁和导体运动v₂的合运动，其合速度为v ，这时的洛仑兹力f垂直v而安培力垂直导体棒，它们是不可能相等的，只能说安培力是洛仑兹力的分力f₁ = qv₁B的合力（见图9-5）。

很显然，f₁的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者说f₁的正功和f₂的负功的代数和为零）。（事实上，由于电子定向移动速率v₁在10^?5m/s数量级，而v₂一般都在10^?2m/s数量级以上，致使f₁只是f的一个极小分量。）

☆如果从能量的角度看这个问题，当导体棒放在光滑的导轨上时（参看图9-6），导体棒必获得动能，这个动能是怎么转化来的呢？

若先将导体棒卡住，回路中形成稳恒的电流，电流的功转化为回路的焦耳热。而将导体棒释放后，导体棒受安培力加速，将形成感应电动势（反电动势）。动力学分析可知，导体棒的最后稳定状态是匀速运动（感应电动势等于电源电动势，回路电流为零）。由于达到稳定速度前的回路电流是逐渐减小的，故在相同时间内发的焦耳热将比导体棒被卡住时少。所以，导体棒动能的增加是以回路焦耳热的减少为代价的。

2、仅受洛仑兹力的带电粒子运动

a、⊥时，匀速圆周运动，半径r =  ，周期T = 

b、与成一般夹角θ时，做等螺距螺旋运动，半径r =  ，螺距d = 

这个结论的证明一般是将分解…（过程从略）。

☆但也有一个问题，如果将分解（成垂直速度分量B₂和平行速度分量B₁ ，如图9-7所示），粒子的运动情形似乎就不一样了——在垂直B₂的平面内做圆周运动？

其实，在图9-7中，B₁平行v只是一种暂时的现象，一旦受B₂的洛仑兹力作用，v改变方向后就不再平行B₁了。当B₁施加了洛仑兹力后，粒子的“圆周运动”就无法达成了。（而在分解v的处理中，这种局面是不会出现的。）

3、磁聚焦

a、结构：见图9-8，K和G分别为阴极和控制极，A为阳极加共轴限制膜片，螺线管提供匀强磁场。

b、原理：由于控制极和共轴膜片的存在，电子进磁场的发散角极小，即速度和磁场的夹角θ极小，各粒子做螺旋运动时可以认为螺距彼此相等（半径可以不等），故所有粒子会“聚焦”在荧光屏上的P点。

4、回旋加速器

a、结构&原理（注意加速时间应忽略）

b、磁场与交变电场频率的关系

因回旋周期T和交变电场周期T′必相等，故 =

c、最大速度 v_max = = 2πRf

5、质谱仪

速度选择器&粒子圆周运动，和高考要求相同。

第二讲 典型例题解析

一、磁场与安培力的计算

【例题1】两根无限长的平行直导线a、b相距40cm，通过电流的大小都是3.0A，方向相反。试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与a导线相距10cm的P点的磁感强度。

【解说】这是一个关于毕萨定律的简单应用。解题过程从略。

【答案】大小为8.0×10^?6T ，方向在图9-9中垂直纸面向外。

【例题2】半径为R ，通有电流I的圆形线圈，放在磁感强度大小为B 、方向垂直线圈平面的匀强磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。

【解说】本题有两种解法。

方法一：隔离一小段弧，对应圆心角θ ，则弧长L = θR 。因为θ →

(选修模块3­5)

(1)下列说法正确的有________．

A．在黑体辐射中，随着温度的升高，各种频率的辐射都增加，辐射强度极大值的光向频率较低的方向移动

B．α粒子散射实验是卢瑟福猜想原子核式结构模型的实验基础

C．汤姆生发现电子，表明原子具有核式结构

D．按照玻尔理论，氢原子核外电子从半径较小的轨道跃迁到半径较大的轨道时，电子的动能减小，原子总能量增大

(2)下列说法正确的是_________

    A．光子像其他粒子一样，不但具有能量，也具有动量

    B．玻尔认为，原子中电子轨道是量子化的，能量也是量子化的

    C．将由放射性元素组成的化合物进行高温分解，会改变放射性元素的半衰期

    D．原子核的质量大于组成它的核子的质量之和，这个现象叫做质量亏损

(3)气垫导轨是常用的一种实验仪器，它是利用气泵使带孔的导轨与滑块之间形成气垫，使滑块悬浮在导轨上，滑块在导轨上的运动可视为没有摩擦．我们可以用带竖直挡板C和D的气垫导轨以及滑块A和B来验证动量守恒定律，实验装置如图所示（弹簧的长度忽略不计），采用的实验步骤如下：

    A．用天平分别测出滑块A、B的质量m_A、m_B；

    B．调整气垫导轨，使导轨处于水平；

    C．在A和B间放入一个被压缩的轻弹簧，用电动卡销锁定，静止地放置在气垫导轨上；

    D．用刻度尺测出A的左端至C板的距离L₁。

    E．按下电钮放开卡销，同时使分别记录滑块A、B运动时间的计时器开始工作。当A、

B滑块分别碰撞C、D挡板时停止计时，记下A、B分别到达C、D的运动时间t₁

和t₂，本实验中还应测量的物理量是                ，利用上述测量的实验数据，

验证动量守恒定律的表达式是                           。

 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若三题都做，则按A、B两题评分．

A．(选修模块3—3)（12分）

（1）利用油酸在水面上形成一单分子层油膜的实验，估测分子直径的大小．有以下的实验步骤：

A、在边长约40cm的浅盘里倒入自来水，深约2cm，将少许痱子粉均匀地轻轻撒在水面上；

B、将5mL的油酸倒入盛有酒精的玻璃杯中，盖上盖并摇动，使油酸均匀溶解形成油酸酒精溶液，读出该溶液的体积为V(mL)

C、用滴管往盘中水面上滴1滴油酸酒精溶液．由于酒精溶于水而油酸不溶于水，于是该滴中的油酸就在水面上散开，形成油酸薄膜；

D、用滴管将油酸酒精溶液一滴一滴地滴人空量杯中，记下当杯中溶液达到1 mL时的总滴数n；

E、取下玻璃板放在方格纸上，量出该单分子层油酸膜的面积S(cm²)．

F、将平板玻璃放在浅方盘上，待油酸薄膜形状稳定后可认为已形成单分子层油酸膜．用彩笔将该单分子层油酸膜的轮廓画在玻璃板上．

   ①完成该实验的实验步骤顺序应该是     ▲      ．

   ②在估算油酸分子直径大小时，可将分子看成球形．用以上实验步骤中的数据和符号表示，油酸分子直径的大小约为d＝   ▲   cm．

（2）在油膜法测分子直径的实验中，用盆口直径为0.4m的面盆盛水，要让油酸滴在水面上散成单分子的油酸膜，那么油酸体积不能大于多少   ▲    m³，实验中可以先把油酸稀释成油酸溶液，再用特制滴管把这种油酸滴1滴到水面上.若测得1mL油酸溶液为120滴，那么1mL油酸至少应稀释成

   ▲   mL的油酸溶液．

（3）质量为6.0kg、温度为-20^oC的冰全部变成30^oC的水，后在常温下（30^oC）全部蒸发为水蒸气，整个过程需要吸收多少热量？（设水在常温下的汽化热为L =2.4×10⁶J/kg，冰的比热容为2.1×10³J/kg^oC，水的比热容为4.2×10³J/kg^oC，冰的熔化热为=3.34×10⁵J/kg）

B．(选修模块3—4)（12分）

（1）在以下各种说法中，正确的是   ▲   

A．一单摆做简谐运动，摆球的运动周期不随摆角和摆球质量的改变而改变

B．光的偏振现象说明光具有波动性，实际上，所有波动形式都可以发生偏振现象．

C．横波在传播过程中，波峰上的质点运动到相邻的波峰所用的时间为一个周期

D．变化的电场一定产生变化的磁场；变化的磁场一定产生变化的电场

E．在光的双逢干涉实验中，若仅将入射光由红光改为绿光，则干涉条纹间距变窄

F．真空中光速在不同的惯性参考系中都是相同的，与光源、观察者间的相对运动没有关系

G．火车过桥要慢行，目的是使驱动力频率远小于桥梁的固有频率，以免发生共振损坏桥梁

H．光导纤维有很多的用途，它由内芯和外套两层组成，外套的折射率比内芯要大

（2）有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T²～L图像，如图甲所示．去北大的同学所测实验结果对应的图线是 ▲   （选填“A”或“B”）．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图像（如图乙所示），由图可知，两单摆摆长之比   ▲    ．

（3）如图所示，一截面为正三角形的棱镜，其折射率为．今有一束单色光

射到它的一个侧面，经折射后与底边平行，再射向另一侧面后射出．试求 

出射光线相对于第一次射向棱镜的入射光线偏离了多少角度？

C．(选修模块3—5)（12分）

(1)下列说法正确的是   ▲ 

 A、太阳辐射的能量主要来自太阳内部的核裂变反应

 B、汤姆生发现电子，表明原子具有核式结构

 C、一束光照射到某种金属上不能发生光电效应，是因为该束光的波长太短

 D、按照玻尔理论，氢原子核外电子从半径较小的轨道跃迁到半径较大的轨道时，电子的动能减小，原子总能量增大

 E、E=mc²表明物体具有的能量与其质量成正比

 F、 β衰变所释放的电子是原子核内的中子转化成质子和电子所产生的

（2）在光滑的水平面上有甲、乙两个物体发生正碰，已知甲的质量为1kg，乙的质量为3kg，碰前碰后的位移时间图像如图所示，碰后乙的图像没画，则碰后乙的速度大小为  ▲  m/s，碰撞前后乙的速度方向   ▲  （填“变”、“不变”）

（3）从某金属表面逸出光电子的最大初动能与入射光的频率的图像如下图所示，则这种金属的截止频率是____▲____H_Z；普朗克常量是 _▲___Js．

 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若三题都做，则按A、B两题评分．

A．(选修模块3—3)（12分）

（1）利用油酸在水面上形成一单分子层油膜的实验，估测分子直径的大小．有以下的实验步骤：

A、在边长约40cm的浅盘里倒入自来水，深约2cm，将少许痱子粉均匀地轻轻撒在水面上；

B、将5mL的油酸倒入盛有酒精的玻璃杯中，盖上盖并摇动，使油酸均匀溶解形成油酸酒精溶液，读出该溶液的体积为V(mL)

C、用滴管往盘中水面上滴1滴油酸酒精溶液．由于酒精溶于水而油酸不溶于水，于是该滴中的油酸就在水面上散开，形成油酸薄膜；

D、用滴管将油酸酒精溶液一滴一滴地滴人空量杯中，记下当杯中溶液达到1 mL时的总滴数n；

E、取下玻璃板放在方格纸上，量出该单分子层油酸膜的面积S(cm²)．

F、将平板玻璃放在浅方盘上，待油酸薄膜形状稳定后可认为已形成单分子层油酸膜．用彩笔将该单分子层油酸膜的轮廓画在玻璃板上．

   ①完成该实验的实验步骤顺序应该是      ▲      ．

   ②在估算油酸分子直径大小时，可将分子看成球形．用以上实验步骤中的数据和符号表示，油酸分子直径的大小约为d＝   ▲   cm．

（2）在油膜法测分子直径的实验中，用盆口直径为0.4m的面盆盛水，要让油酸滴在水面上散成单分子的油酸膜，那么油酸体积不能大于多少   ▲    m³，实验中可以先把油酸稀释成油酸溶液，再用特制滴管把这种油酸滴1滴到水面上.若测得1mL油酸溶液为120滴，那么1mL油酸至少应稀释成

   ▲   mL的油酸溶液．

（3）质量为6.0kg、温度为-20^oC的冰全部变成30^oC的水，后在常温下（30^oC）全部蒸发为水蒸气，整个过程需要吸收多少热量？（设水在常温下的汽化热为L =2.4×10⁶J/kg，冰的比热容为2.1×10³J/kg^oC，水的比热容为4.2×10³J/kg^oC，冰的熔化热为=3.34×10⁵J/kg）

B．(选修模块3—4)（12分）

（1）在以下各种说法中，正确的是    ▲   

A．一单摆做简谐运动，摆球的运动周期不随摆角和摆球质量的改变而改变

B．光的偏振现象说明光具有波动性，实际上，所有波动形式都可以发生偏振现象．

C．横波在传播过程中，波峰上的质点运动到相邻的波峰所用的时间为一个周期

D．变化的电场一定产生变化的磁场；变化的磁场一定产生变化的电场

E．在光的双逢干涉实验中，若仅将入射光由红光改为绿光，则干涉条纹间距变窄

F．真空中光速在不同的惯性参考系中都是相同的，与光源、观察者间的相对运动没有关系

G．火车过桥要慢行，目的是使驱动力频率远小于桥梁的固有频率，以免发生共振损坏桥梁

H．光导纤维有很多的用途，它由内芯和外套两层组成，外套的折射率比内芯要大

（2）有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T²～L图像，如图甲所示．去北大的同学所测实验结果对应的图线是  ▲   （选填“A”或“B”）．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图像（如图乙所示），由图可知，两单摆摆长之比    ▲    ．

（3）如图所示，一截面为正三角形的棱镜，其折射率为．今有一束单色光

射到它的一个侧面，经折射后与底边平行，再射向另一侧面后射出．试求 

出射光线相对于第一次射向棱镜的入射光线偏离了多少角度？

C．(选修模块3—5)（12分）

(1)下列说法正确的是   ▲ 

 A、太阳辐射的能量主要来自太阳内部的核裂变反应

 B、汤姆生发现电子，表明原子具有核式结构

 C、一束光照射到某种金属上不能发生光电效应，是因为该束光的波长太短

 D、按照玻尔理论，氢原子核外电子从半径较小的轨道跃迁到半径较大的轨道时，电子的动能减小，原子总能量增大

 E、E=mc²表明物体具有的能量与其质量成正比

 F、 β衰变所释放的电子是原子核内的中子转化成质子和电子所产生的

（2）在光滑的水平面上有甲、乙两个物体发生正碰，已知甲的质量为1kg，乙的质量为3kg，碰前碰后的位移时间图像如图所示，碰后乙的图像没画，则碰后乙的速度大小为  ▲  m/s，碰撞前后乙的速度方向   ▲  （填“变”、“不变”）

（3）从某金属表面逸出光电子的最大初动能与入射光的频率的图像如下图所示，则这种金属的截止频率是____▲____H_Z；普朗克常量是  _▲___Js．