已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 设 (N^*).

①证明： ；

② 求证：.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

所以利用放缩法，从此得到结论。

解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

证法二：，下同证法一.           ……10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                    ………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

从而.

也即

 

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15，则数列的前100项和为

(A)   (B)    (C)   (D)

【解析】由,得，所以，所以，又，选A.

 

数列{a_n}满足a_n+1＋(－1)ⁿ a_n ＝2n－1，则{a_n}的前60项和为

（A）3690         （B）3660         （C）1845            （D）1830

【解析】由得，

，

即，也有，两式相加得，设为整数，

则，

于是

 

（天津卷理12）一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为                    .

解析：由得，所以，表面积为.

（天津卷理12）一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为                    .

解析：由得，所以，表面积为.